Cómo demostrar que si para primo [matemática] p [/ matemática] existe [matemática] m, n \ in \ mathbb {N} [/ matemática] tal que [matemática] p ^ 2 = 2 ^ n 3 ^ m + 1 [/ math], luego [math] p \ leq 17 [/ math]

Answer 1

Deje que [matemática] p ^ 2 = 2 ^ n3 ^ m + 1 [/ matemática], luego [matemática] 2 ^ n3 ^ m = p ^ 2-1 = (p-1) (p + 1) [/ matemática] .

Para [matemática] p [/ matemática] impar, esto significa que [matemática] p-1 [/ matemática] o [matemática] p + 1 [/ matemática] es [matemática] 2 \ cdot3 ^ m [/ matemática], y el otro es [matemática] 2 ^ {n-1} [/ matemática].

(Para [math] p [/ math] even, tenemos [math] 2 ^ 2 = 2 ^ 03 ^ 1 + 1 [/ math].)

Dividiendo ambos términos por [matemáticas] 2 [/ matemáticas], luego [matemáticas] \ frac {p-1} 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {p + 1} 2 [/ matemáticas] son ​​dos números consecutivos, uno de ellos un poder de dos ([matemáticas] 2 ^ {n-2} [/ matemáticas]), el otro un poder de tres ([matemáticas] 3 ^ m [/ matemáticas]).

[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {3-1} 2 & = 3 ^ 0 & \ frac {3 + 1} 2 & = 2 ^ 1 \\ \ frac {5-1} 2 & = 2 ^ 1 & \ frac {5 + 1} 2 & = 3 ^ 1 \\ \ frac {7-1} 2 & = 3 ^ 1 & \ frac {7 + 1} 2 & = 2 ^ 2 \\ \ frac {17-1} 2 & = 2 ^ 3 & \ frac {17 + 1} 2 & = 3 ^ 2 \ end {align *} [/ math]

Esto es consistente con los resultados:

[matemáticas] \ begin {align *} 3 ^ 2 = 9 & = 2 ^ 33 ^ 0 + 1 \\ 5 ^ 2 = 25 & = 2 ^ 33 ^ 1 + 1 \\ 7 ^ 2 = 49 & = 2 ^ 43 ^ 1 +1 \\ 17 ^ 2 = 289 & = 2 ^ 53 ^ 2 + 1 \\ \ end {align *} [/ math]

Tratemos de encontrar otros dos enteros consecutivos de modo que uno sea una potencia de tres y el otro sea una potencia de dos.

Veamos el módulo 16:

[matemáticas] \ begin {align *} 3 ^ 0 = 1 & \ equiv1 \ mod16 \\ 3 ^ 1 = 3 & \ equiv3 \ mod16 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ equiv9 \ mod16 \\ 3 ^ 3 = 27 & \ equiv11 \ mod16 \\ 3 ^ 4 = 81 & \ equiv1 \ mod16 \\ 3 ^ 5 = 243 & \ equiv3 \ mod16 \ end {align *} [/ math]

Es evidente que [matemáticas] 3 ^ {m + 4} \ equiv3 ^ m \ mod16 [/ matemáticas], es cíclico. Además, para [matemáticas] k \ ge4 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ k \ equiv0 \ mod16 [/ matemáticas]. Esto significa que los únicos candidatos por encima de [matemáticas] 9 [/ matemáticas], para [matemáticas] 3 ^ m [/ matemáticas] son ​​para [matemáticas] m = 4h [/ matemáticas].

Pero veamos el módulo 10:

[matemáticas] \ begin {align *} 3 ^ 0 = 1 & \ equiv1 \ mod10 \\ 3 ^ 1 = 3 & \ equiv3 \ mod10 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ equiv9 \ mod10 \\ 3 ^ 3 = 27 & \ equiv7 \ mod10 \\ 3 ^ 4 = 81 & \ equiv1 \ mod10 \\ 3 ^ 5 = 243 & \ equiv3 \ mod10 \ end {align *} [/ math]

Entonces, cualquier potencia de 3 como [matemáticas] 16 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 3 ^ m-1 [/ matemáticas], luego [matemáticas] 10 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 3 ^ m-1 [/ matemáticas ] No hay potencia de 3, por encima de [matemáticas] 3 ^ 2 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] 3 ^ m-1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 3 ^ m + 1 [/ matemáticas] es una potencia de 2)

Por lo tanto, no hay un número [matemático] p = 2 \ cdot3 ^ m \ pm1 [/ matemático] (con [matemático] p> 17 [/ matemático]) tal que [matemático] p ^ 2 = 2 ^ n3 ^ m + 1 [/matemáticas].

Answer 2

La ecuación da

[matemáticas] (\ frac 12 (p-1)) (\ frac 12 (p + 1)) = 2 ^ {n-2} 3 ^ m [/ matemáticas]

Los dos números [matemática] \ frac 12 (p-1) [/ matemática] y [matemática] \ frac 12 (p + 1) [/ matemática] difieren en uno, por lo que uno de ellos debe ser una potencia de dos y el otro necesita ser un poder de tres.

Si tienes [matemática] 2 ^ a – 3 ^ b = 1, [/ matemática] y [matemática] b> 0 [/ matemática] entonces [matemática] a [/ matemática] debe ser par (de lo contrario las dos partes tienen diferentes restos mod 3). Entonces tiene

[matemáticas] (2 ^ k-1) (2 ^ k + 1) = 3 ^ b [/ matemáticas]

y no hay muchas potencias de tres que difieran en dos 🙂

Si tiene [matemática] 2 ^ a – 3 ^ b = -1, [/ matemática] entonces [matemática] a <2 [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] debe ser par (de lo contrario, los dos lados tienen restos diferentes mod 4). Entonces el mismo truco

[matemáticas] (3 ^ k-1) (3 ^ k + 1) = 2 ^ a [/ matemáticas]

te permite enlazar [matemáticas] k. [/ matemáticas]

Espero que esto ayude.

Answer 3

Sea [math] p [/ math] un número primo mayor que [math] 3 [/ math]. Los números [matemática] a = p-1 [/ matemática] y [matemática] b = p + 1 [/ matemática] son ​​ambos pares, exactamente uno de ellos es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], y exactamente uno de ellos es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Asegúrese de ver claramente por qué todo esto es cierto.

La pregunta estipula que el producto de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], que es [matemática] p ^ 2-1 [/ matemática], debe tener la forma [matemática] 2 ^ n3 ^ m [/ matemáticas]. Esto es lo mismo que exigir que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] sean ambas de esta forma también: ninguno tiene un factor primo mayor que [math] 3 [/ math].

Dado que uno de ellos no es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas], debe ser un poder de [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Este también es el que es divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas], por lo que el otro no lo es, y por lo tanto, el otro debe tener la forma [matemáticas] 2 \ por 3 ^ k [/ matemáticas]. Es el doble de una potencia de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Para resumir: uno de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es [matemática] 2 ^ l [/ matemática] y la otra es [matemática] 2 \ veces 3 ^ k [/ matemática] . Dividiendo por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] encontramos que [matemáticas] 2 ^ {l-1} [/ matemáticas], un poder de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], es uno más o uno menos que [matemáticas] 3 ^ k [/ math], un poder de [math] 3 [/ math].

Pero los poderes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y los poderes de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] no les gusta estar uno al lado del otro. Tenemos [matemáticas] 3 [/ matemáticas] sentado justo al lado de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 [/ matemáticas], y luego tenemos [matemáticas] 8 [/ matemáticas] al lado de [matemáticas] 9 [/ matemáticas], y eso es todo. No hay otras potencias adyacentes de 2 y 3. Esto fue probado por Levi Ben Gershon (Gersonides, רלב״ג) alrededor de 1343, y hoy en día es un buen ejercicio de aritmética modular (pista: considerar los módulos de residuos [matemática] 4 [/ matemática ] o [matemáticas] 8 [/ matemáticas]).

(De hecho, aparte de [matemáticas] 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 [/ matemáticas], no hay poderes adyacentes de nada . Esta es la Conjetura del catalán, probada en 2002 por Preda Mihăilescu. Para ser claros, esto es no es un buen ejercicio de aritmética modular).

Los primos [matemática] 5,7 [/ matemática] y [matemática] 17 [/ matemática] satisfacen las condiciones del problema gracias a esas pequeñas adyacencias, pero no puede haber otros primos similares ya que no hay otros poderes adyacentes de [ matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Answer 4

* A2A

Inicialmente estaba buscando una prueba directa, pero creo que es mejor hacerlo de esta manera. Supongamos que [matemáticas] p = 17 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] p ^ 2–1 = 17 ^ 2–1 = 288 \\ 288 = 2 ^ 5 \ veces 3 ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Ahora, consideremos que [matemáticas] p = 19 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2–1 = 19 ^ 2–1 = 360 \\\ texto {Dado que este número termina en 0, debemos tener 5 como factor} \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, algunos primos [matemática] p> 17 [/ matemática] rompe el patrón de factorización de [matemática] 2 ^ n 3 ^ m [/ matemática] para [matemática] p ^ 2–1 [/ matemática]

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¿Está considerando que [math] \ N = \ {0,1,2, \ cdots \} [/ math]?