¿Se ha demostrado la conjetura de legendre de que siempre existe un primo mayor que n ^ 2 y menor que (n + 1) ^ 2?

Answer 1

Se han escrito cientos o miles de pruebas. En su mayoría, pierden la marca al intentar colocar un límite inferior en los números primos por intervalo. Una forma mucho mejor es darle la vuelta al problema y colocar un límite superior en compuestos impares.

Entonces, permítanme sugerir una forma más reveladora de enunciar la Conjetura de Legendre:

La cardinalidad desigual de los subconjuntos de compuestos pares e impares entre cuadrados perfectos es determinista, eliminando la posibilidad de un intervalo libre de primos.

Se podría argumentar que demostrar que Legendre es falso es un desafío más interesante.

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Hay una prueba heurística , basada en compuestos, no primos . Es decir, la distribución del factor primo mínimo de cada compuesto sigue una distribución estricta que impide la posibilidad de un intervalo libre de primos. Por ejemplo, tome el intervalo entre los cuadrados 324 y 361.

Incluso
36/2 = 18

Impar
18/3 = 6
12/5 = 2.4
9.6 / 7 = 1.37
8.23 / 11 = 0.75
7.48 / 13 = 0.58
6.9 / 17 = 0.41
6.49 / 19 = 0.34
6.15 / 23 = 0.27
5.88 / 29 = 0.2
5.68 / 31 = 0.18

18 – 12.5 = 5.5 primos

Esta es una estimación bastante buena (porque en realidad es 6). La pregunta entonces se convierte en: ¿Puede la cuenta impar converger alguna vez en par? ¡No, pero prueba eso! En realidad, no puede refutarlo, ni siquiera se acerca a explicar cómo esa diferencia entre pares e impares podría desaparecer en cualquier magnitud de intervalo cuadrático. Así, Legendre’s, descansa en paz. No valía la pena discutirlo desde el día que Adrien-Marie Legendre lo propuso.

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Un enfoque poco convencional pero lógico es considerar un intervalo como un conjunto y definir una tabla de verdad de paridad que muestre que no todos los miembros impares del conjunto pueden ser compuestos:

Construyendo una tabla de verdad de paridad para el intervalo entre cuadrados perfectos

Sólo una sugerencia….

Answer 2

Tampoco se ha demostrado que no sea refutado hasta ahora. ¿Qué quiero decir con esto? Tendrás una idea completa en este artículo wiki sobre esta conjetura de Legendre: Wikipedia.