Deje [math] L (s) [/ math] denotar una función L. Entonces [math] L (s) [/ math] puede escribirse como una serie de Dirichlet y como un producto de Euler indexado por números primos [math] p [/ math],
[matemáticas] L (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s} = \ prod_ {p} ^ {} {} L_ {p} \ left (p ^ {-s} \ right) ^ {- 1} [/ math].
Aquí, [matemática] L_ {p} \ left (p ^ {- s} \ right) ^ {- 1} [/ math] es el factor L.
L significa local , ya que esta es una función de un primo particular [math] p [/ math] (en contraste con el producto “global” sobre todos los primos).
En el caso de la hipótesis de Riemann, [matemática] L (s) [/ matemática] es la función zeta de Riemann
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[matemáticas] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- s} = \ prod_ {p} ^ {} {} (1-p ^ {- s}) ^ { -1} [/ matemáticas],
entonces el factor L es [matemática] L_ {p} \ left (p ^ {- s} \ right) ^ {- 1} = (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} [/ math] .
La hipótesis de Riemann generalizada permite que [math] a_ {n} [/ math] sea cualquier carácter de Dirichlet [math] \ chi \ left (n \ right) [/ math]. En ese caso, el factor L se convierte en
[matemáticas] L_ {p} \ left (p ^ {- s} \ right) ^ {- 1} = (1- \ chi \ left (n \ right) p ^ {- s}) ^ {- 1} [ /matemáticas].
La función zeta de Riemann original se recupera para [math] \ chi \ left (n \ right) = 1 [/ math].