¿Cuál es la función Riemann Zeta y cuáles son sus propósitos y usos?

Answer 1

Resumen

La función zeta de Riemann se encontró por primera vez en el estudio de Análisis complejo en 1859 y es importante debido a su notable conexión con otros campos de las matemáticas, como la teoría de números y la teoría de matrices, principalmente a través de la hipótesis de Riemann .

La hipótesis no ha sido probada y, sin embargo, es el ingrediente central de muchas ideas fundamentales en matemáticas. También es un ingrediente en varios cálculos importantes en física.

En cierto sentido, la función zeta de Riemann es una herramienta mágica que ha impulsado las matemáticas y la física hacia adelante y ha unido muchos campos dispares en estas disciplinas, aunque todavía no lo entendemos bien.

Función Riemann Zeta

OKAY. Entonces, ¿qué es exactamente la función zeta de Riemann? La definición es en realidad engañosamente simple. Es solo la siguiente suma

[matemáticas] \ zeta (z) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {n ^ z} = \ frac 1 {1 ^ z} + \ frac 1 {2 ^ z} + \ dots [/ matemáticas]

donde [math] z = x + iy [/ math] es un número complejo, por lo que [math] \ zeta (z) [/ math] también es complejo. Parece simple, pero puedes apreciar su complejidad simplemente trazando la función.

Por ejemplo, mire la gráfica de [math] | \ zeta (1/2 + iy) | [/ math] (eje vertical) en función de [math] y [/ math] (eje horizontal). Se parece a esto

Observe cómo la función zeta va a cero aproximadamente en [math] y = 14, 21, 25 [/ math] y así sucesivamente. Llamamos a estos valores ceros de la función zeta . La hipótesis de Riemann es una declaración sobre la distribución de estos ceros.

Hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann dice que todas las soluciones no triviales a [matemáticas] \ zeta (z) = 0 [/ matemáticas] se encuentran en la línea real [matemáticas] x = 1/2 [/ matemáticas]. ¿Qué quiero decir con esto? Considere una gráfica de los ceros de [math] \ zeta (x + iy) [/ math]

Rojo = Parte real de [matemáticas] \ zeta (z) [/ matemáticas]

Azul = Parte imaginaria de [matemáticas] \ zeta (z) [/ matemáticas]

Puntos negros = ceros de [matemáticas] \ zeta (z) [/ matemáticas]

Observe que casi todos los ceros se encuentran en la línea [math] x = 1/2 [/ math], excepto aquellos en [math] y = 0 [/ math]. Los ceros en [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] no son interesantes porque la función zeta se vuelve real y se pierde la estructura rica de números complejos.

Sin embargo, podemos ver que, por alguna razón, todos los ceros se agrupan a lo largo de la línea [math] x = 1/2 [/ math]. Esta es la declaración de Riemann. Él dice que no encontrarás otros ceros interesantes en otro lugar.

Aplicaciones en matematicas

1. Teoría de números : los ceros de la función zeta son un tesoro de información sobre números primos. Se utilizan para cuantificarlos, ¿cuántos hay? ¿Cuál es su distribución estadística? ¿Qué posibilidades hay de que dos primos estén juntos? Aplicación práctica: esta información conduce a mejores algoritmos de cifrado, que dependen en gran medida de las distribuciones de números primos.
2. Teoría de matrices : los ceros de la función zeta están relacionados con los valores propios de ciertas matrices aleatorias (es decir, matrices con elementos aleatorios). Aplicación práctica: las matrices aleatorias se utilizan para modelar energías de núcleos, mercados financieros, así como big data.
3. En general , a partir de los dos ejemplos anteriores, se ve que la hipótesis de Riemann está misteriosamente conectada a distribuciones en otros campos matemáticos. ¿Significa esto que las matrices aleatorias y los números primos están relacionados? ¡Si! El hilo de conexión es la función zeta de Riemann. Es mágico porque conecta muchos otros campos que, de lo contrario, parecerían completamente dispares.

Aplicaciones en fisica

1. Quantum Stat Mech : las funciones zeta se encuentran en la mecánica estadística al evaluar las distribuciones de partículas bosónicas y fermiónicas.
2. Física nuclear : los valores de energía de los núcleos pesados ​​(como el uranio) se distribuyen como los ceros de la función zeta de Riemann. Alternativamente, esto significa que la mecánica cuántica de los núcleos pesados ​​está conectada a los números primos, lo cual es una declaración loca en sí misma.
3. Otros: debido a su relación con las matrices aleatorias, la función zeta también aparece en el estudio de redes neuronales, procesamiento de imágenes y comunicaciones inalámbricas.

Simplemente mirando esta breve exposición, es increíble cuánto conocimiento ha producido la función zeta.

Answer 2

La explicación simple para las personas que no son matemáticas tendrá que ser muy general y se perderá mucho de lo que hace que la hipótesis de Riemann sea tan interesante, pero la pondré aquí de todos modos porque parece que estoy recibiendo muchos éxitos por ‘ explicación simple “.
Básicamente hay una ecuación que involucra algo llamado la función zeta de Riemann, estudiada por un tipo llamado Bernhard Riemann. La hipótesis de Riemann se basa en una observación que Riemann hizo sobre la ecuación: cada valor de entrada de la ecuación que lo hace ir a cero parece estar exactamente en la misma línea. Puede que no suene muy interesante, pero es para los matemáticos porque estos valores siguen apareciendo en los lugares más locos y complicados como la mecánica cuántica y la teoría de números. Lo más importante es que la hipótesis de Riemann está muy relacionada con los números primos, algo que los matemáticos no entienden muy bien. La hipótesis de Riemann es tan famosa porque nadie ha podido resolverla durante 150 años. Esto es bastante raro en matemáticas, porque la mayoría de las teorías pueden ser probadas o refutadas con bastante rapidez por alguien con cabello muy malo. Intentaré dar una descripción más detallada a continuación, pero si las matemáticas te dan miedo, probablemente deberías dejar de leer mientras puedas …

En primer lugar, debería explicar qué es un número complejo, ya que la función Riemann Zeta funciona con ellos. Hace muchos años, los matemáticos se aburrieron de los números reales, por lo que decidieron inventar algunos imaginarios para complicar las cosas. Puede pensar que un número complejo se parece a dos números, pero de hecho es un número. Se escribirá un número complejo en la forma x + iy. Por ejemplo, suponga que n es un número complejo con el valor 3 + i5. La primera parte se llama parte real (Re (n) = 3 en este ejemplo) y la parte con i se llama parte imaginaria (Im (n) = 5). Todos los números normales como 42 o 9.3 o 1 son números realmente complejos disfrazados, simplemente no escribimos la parte imaginaria porque es cero. Si lo hiciéramos, se verían como 42 + i0 o 9.3 + i0 o 1 + i0.

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real igual a 0.5. Pero ¿qué significa esto? Un cero de una función es un valor que puede poner en la función y obtener cero para salir. Por ejemplo, si tiene una función f (x) = x – 1, entonces x = 1 es un cero de esta función porque usarla como x da 1 – 1 = 0. La función Zeta de Riemann tiene algunos ceros que son fáciles de encontrar que son de poco interés, pero hay algunos otros que son más difíciles de encontrar y es por eso que se llaman no triviales.
Decir que la parte real de cualquier cero no trivial es 0.5 significa que cuando coloca valores de números complejos en la función, la parte real de ese valor siempre es 0.5 si el número que sale de la función es cero. Aquí está la función Zeta que se define para Re (s)> 1.

Pero espere un minuto si la función se define solo para Re (s)> 1, ¿cómo puede tener una parte real que sea 0.5? ¡Pues no puede! Pero gracias al complicado hechizo mágico llamado ‘continuación analítica’ podemos convertir esta función en otra función que tenga todos los mismos valores que el original pero que tenga más valores donde la otra función no. Aquí está la continuación analítica de la función zeta que es válida para Re (s)> 0.

Aquí hay una imagen del valor absoluto recíproco de la continuación analítica de la función zeta. La parte verde representa dónde estaría tendiendo hacia cero en la función de valor absoluto. Estos son los ceros no triviales de los que la gente siempre habla, ¿se dan cuenta de cómo están todos en la misma línea?

La importancia de la hipótesis de Riemann es que muchas preguntas sobre números primos pueden reformularse en preguntas sobre ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Esto significa que si demuestras la hipótesis de Riemann, también pruebas un montón de otras conjeturas, porque la gente ya ha hecho pruebas que solo tienen un supuesto: la hipótesis de Riemann.

Answer 3

Depende de quién eres: el teórico de los números por sí solo no es lo suficientemente específico. Tal vez le interese el problema de las funciones L analíticamente continuas asociadas a variedades racionales suaves o representaciones continuas de Galois (o representaciones automorfas de dimensiones superiores). Entonces, una pregunta importante a responder es cuando dicha función L consiste en un poste en el borde de la tira crítica. Conjeturalmente, ¡exactamente si contiene la función Riemann-zeta como factor! O al menos hasta finitos primos ramificados.

Clásicamente, el teorema de los números primos es la motivación histórica: la ubicación de los ceros en la denominada franja crítica determina el término de error en los teoremas de los números primos. Dichos términos de error se optimizarían si se cumple la hipótesis de Riemann conjeturada. Lo que es aún más mágico es que se conjetura que estos ceros viven en la línea de simetría en la ecuación funcional que realmente inicia todo este negocio de estudiar las propiedades analíticas de la función zeta como meromórficas en todo el plano complejo.

O te obsesionas con la filosofía de Katz-Sarnak y quieres estudiar la distribución de ceros en la franja crítica (asume que todos viven allí por ahora). Luego, a medida que considera más y más funciones que, en cierto sentido, imitan la función de Riemann-zeta, las estadísticas de los ceros parecen imitar estadísticas de valores propios de ciertos subgrupos compactos de GL (N) a medida que N explota. En particular para la función zeta de Riemann, esta ideología exhibe fenómenos extraños que no parecen aparecer en otras familias de funciones L.

Entonces no hay realmente una respuesta a su pregunta. Se trata más de lo que quieres de la función Riemann-zeta en lugar de qué es y por qué es importante.

Answer 4

La función zeta de Riemann está íntimamente ligada a los números primos. Antes de que pueda comenzar sobre cómo es eso, debo dar una definición (parcial) de la zeta de Riemann. Esta es una función definida en el plano complejo, y en el semiplano [matemática] Re (s)> 1 [/ matemática], podemos escribirla como [matemática] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ math].

La función zeta de Riemann satisface una identidad maravillosa llamada producto de Euler (válido en el mismo medio plano):

[matemáticas] \ prod_ {p \ \ text {prime}} (1 – p ^ {- s}) ^ {- 1} = \ prod_ {p} \ sum_ {r = 0} ^ \ infty p ^ {- rs } = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ math]

Por lo tanto, podemos relacionar la función zeta con un producto sobre todos los primos. ¿Qué podemos hacer con esto? Bueno, por un lado, podemos demostrar que hay infinitos números primos.

Supongamos que solo hay muchos primos finitos. Entonces [math] \ prod_ {p \ \ text {prime}} (1 – p ^ {- 1}) ^ {- 1} [/ math] sería un producto perfectamente definido (finito). Pero, por otro lado, utilizando la identidad del producto Euler, debería ser igual a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n} [/ math]. Esto presenta un problema, ya que esta es la serie armónica, que es bien conocida por divergir. Por lo tanto, nuestra suposición inicial debe haber estado equivocada: hay infinitos números primos.

Podemos hacerlo mejor, pero requiere las técnicas de análisis complejo. Sin entrar en la prueba, puede usar la función zeta para mostrar que la cantidad de números primos menores que [math] N [/ math] es aproximadamente [math] \ frac {N} {\ log N} [/ math]. O, si quiere hacerlo un poco mejor, es aproximadamente [matemáticas] Li (N) [/ matemáticas], que es la integral logarítmica. Para obtener un término de error decente, necesita algunos límites sobre dónde están los ceros de la función zeta. Si la hipótesis de Riemann es correcta, y todos los ceros realmente se encuentran en la línea [matemática] Re (s) = 1/2 [/ matemática], entonces el término de error es del orden de [matemática] \ sqrt {N} \ log (N) [/ math].

Answer 5

La función zeta de Riemann es la versión analítica del teorema fundamental de la aritmética.

Su propósito es estudiar la distribución de los números primos. La hipótesis de Riemann es equivalente a una estimación “razonable” de la función de conteo primo.

Su prueba puede no ser muy difícil en absoluto, si esperamos que nuestra prueba de la hipótesis de Riemann sea pronto reconocida.

Lo único nuevo es que las funciones pseudo-Gamma son funciones analíticas complicadas pero elementales para ayudar a nuestra prueba.

Por favor vea mi respuesta a otra pregunta:

¿Alguien puede probar o refutar la hipótesis de Riemann?

Answer 6

Riemann Zeta tiene una gran lista de usos en el campo de la integración y también tiene relaciones misteriosas con los números primos.

[math] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} \ frac {1} {n ^ s} [/ math] para todos [math] s> 1 [/ math]

También en términos de números primos se puede definir como,

[math] \ displaystyle \ zeta (s) = \ prod_ {p} (1-p ^ {- s}) [/ math] donde el producto corre sobre todos los números primos.

La hipótesis de riemann también conjetura que, aparte de los ceros triviales, todos los otros ceros de la zeta de riemann tienen sus partes reales como 1/2.

Se pueden abordar muchas integrales usando el riemann zeta como,

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) \ Gamma (s) = \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \; dx [/ math]

Hace mucho tiempo, Euler encontró la solución al problema de Basilea, que ciertamente dio una nueva ruta a la investigación de esta función. El problema del basel fue determinar el valor de: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ cdots [/matemáticas]

Euler encontró que la solución era [matemáticas] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Comparó el coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] en el producto infinito y las exacciones taylor de [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas]

Debido a la falta de tiempo, lo estoy terminando aquí, hay mucho más para hablar sobre riemann zeta. No dude en preguntar si tiene alguna consulta 🙂

Answer 7

Un lugar extraño que aparece es en la derivación de la ley de Stefan-Boltmann en física estadística. La derivación de la ley de Planck implica la integral

[matemática] \ int_0 ^ \ infty \ mathrm {d} x \, \ frac {x ^ 3} {e ^ x-1} [/ math]

que resulta ser igual a [math] 6 \ zeta (4) [/ math].

Consulte la sección “Apéndice” en la parte inferior de la ley Stefan-Boltzmann para obtener más detalles.

Answer 8

Resulta que la función [math] n ^ {- s} \ zeta ^ {- 1} (s) [/ math], para algunos [math] s> 0 [/ math], proporciona una distribución de probabilidad natural en el Conjunto de enteros positivos. Tiene la propiedad de que los exponentes de los números primos en la factorización de un número entero son variables aleatorias independientes. Estudiar el comportamiento de esta distribución como [math] s \ rightarrow 1 [/ math] de hecho permite deducir mucha información estadística sobre los números primos.

Tenga en cuenta que esto también está muy relacionado con la distribución Zipfian.

Answer 9

En términos de una explicación de lo que es, no hay mucho que decir; la función zeta de Riemann se define como la función analítica única [matemática] \ zeta [/ matemática] sobre el plano complejo tal que [matemática] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {- s} [/ math] cuando la última suma converge.

¿Quizás está buscando el significado de la función zeta de Riemann?

Answer 10

La función Riemann-Zeta es una serie de Dirichlet y juega un papel importante en la teoría de números. La función tiene aplicaciones en física, probabilidad y estadística. En física, algunas funciones básicas de zeta tienen aplicaciones en áreas de condensación de Bose-Einstein, efecto Cashmir. La función zeta espectral encuentra una serie de aplicaciones en física.

En física nuclear, los valores de energía de los núcleos pesados ​​se distribuyen como los ceros de la función zeta de Riemann.

La función zeta de Riemann ζ (s) es una función de una variable compleja s = σ + it.

Answer 11

Cuando x = ll p +1 primo grande infinito de Euclides, mod (x, po) / po = 1 / po de ROSE, es la suma igual al recíproco de la función zeta (o producto de Euler), puede calcular cero de la función zeta en la línea crítica x = 1/2 del término de error mod (x, po) / po, x ^ (1/2) = (p ^ 2) ^ (1/2) = p

, desmitificar su conexión con el número primo.

Answer 12

La función zeta de riemann es qué número equivaldrá a cero y su propósito de que … ese número complejo siempre produzca una búsqueda cero para el pescador Virgil de Ciudad del Cabo, Sudáfrica, le mostrará por qué le dice que