¿Cómo encontrar los dos últimos dígitos de 1829 ^ 1829? Debo aplicar el pequeño teorema de Fermat.

Answer 1

Esa no parece una opción obvia.

Si busca los dos últimos dígitos de algo, entonces esta es una pregunta sobre aritmética decimal en lugar de reglas más generales de números.

Si piensa resolver una multiplicación decimal básica de 4 dígitos a mano, debe detectar que los últimos dígitos de la RESPUESTA (producto) dependen solo de los últimos dos dígitos de los números que está multiplicando.

Sp LD2 (1829 ^ 1829) = LD2 (29 ^ 1829)

Entonces, ¿cómo son los dos últimos dígitos de potencias de 29?

29 ^ 1 = 29, 29 ^ 2 = 841,….

Continúe y encontrará que la secuencia es algo así como * 29, 41, 89, 81, 49, 21, 09, 61, 69, 01 y regresa al 29. Debido a que terminamos nuevamente en 29 en ese patrón, el el patrón debe repetirse en el mismo orden …

¡Así que solo necesita saber en qué lugar de la secuencia sería el 1829º mandato! [que es super fácil sospecho]

No sé cuál es el contexto del problema, pero parece un estilo de pregunta diseñado para molestar a alguien que intenta responderlo con una calculadora o una hoja de cálculo.

* [verifique esto en caso de que me equivoque]

Answer 2

La respuesta que acaba de proporcionar Bob Zwetsloot da detalles suficientes . Proporcionaré una versión un poco más compacta de su respuesta .

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Los dos últimos dígitos de [matemática] N = 1829 ^ {1829} [/ matemática] es simplemente [matemática] N \ bmod {100} [/ matemática]. Desde [matemática] 1829 \ equiv 29 \ pmod {100} [/ matemática], [matemática] \ phi (100) = 40 [/ matemática] y [matemática] 1829 \ equiv -11 \ pmod {40} [/ matemática ], El teorema de Euler da

[matemáticas] N \ equiv 29 ^ {29} \ equiv 29 ^ {- 11} = 29 ^ {- 1} \ cdot \ left (29 ^ {10} \ right) ^ {- 1} \ pmod {100} [ /matemáticas].

Ahora [matemáticas] 29 ^ 2 \ equiv 41 \ pmod {100} [/ matemáticas], [matemáticas] 29 ^ 4 \ equiv 41 ^ 2 \ equiv 81 \ pmod {100} [/ matemáticas], [matemáticas] 29 ^ 5 \ equiv 49 \ pmod {100} [/ math] y [math] 29 ^ {10} \ equiv 1 \ pmod {100} [/ math].

Por lo tanto

[matemáticas] N \ equiv 29 ^ {- 1} \ cdot \ left (29 ^ {10} \ right) ^ {- 1} \ equiv 29 ^ {- 1} \ equiv 29 ^ 4 \ cdot 29 ^ 5 \ equiv 81 \ cdot 49 \ equiv 69 \ pmod {100}. [/matemáticas]

Los dos últimos dígitos de [matemáticas] 1829 ^ {1829} [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 69 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Estoy bastante seguro de que no usará el pequeño teorema de Fermat aquí: eso solo funcionaría en la prueba del último dígito, ya que el pequeño teorema de Fermat solo funcionaría para los módulos principales. En este caso, utilizaremos el Teorema del resto chino y, en lugar del Pequeño teorema de Fermat, la generalización de Euler. (Y mientras intentas este ejercicio, tendré que asumir que debes saber ambos).

El primer paso es darse cuenta de que los dos últimos dígitos forman el módulo de número [math] 100 [/ math], por lo que podemos ignorar el [math] 1800 [/ math] en la base:

[matemáticas] 1829 ^ {1829} \ equiv 29 ^ {1829} \ mod 100 [/ matemáticas]

(El uso del teorema de Euler directamente aquí nos da un valor de [math] 29 ^ {29} \ mod 100 [/ math], que no es fácilmente calculable. Se deduce de [math] \ phi (100) = 40 [/ math ]) Usando el teorema del resto chino, sabemos que para calcular un módulo de número [matemática] 100 [/ matemática], como [matemática] 4 [/ matemática] y [matemática] 25 [/ matemática] son ​​números coprimos, el número es únicamente determinado por sus restos módulo [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y módulo [matemáticas] 25 [/ matemáticas].

Es relativamente fácil ver que [matemáticas] 29 ^ {1829} \ equiv 1 ^ {1829} = 1 \ mod 4 [/ matemáticas], y como [matemáticas] \ phi (25) = 20 [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] 29 ^ {1829} \ equiv 4 ^ {1829} \ equiv 4 ^ 9 = (2 ^ 9) ^ 2 = 512 ^ 2 \ equiv 12 ^ 2 = 144 \ equiv 19 \ mod 25 [/ matemáticas] .

Debido a esto, como [matemáticas] 19 \ equiv 3 \ mod 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 25 [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv 1 \ mod 4 [/ matemáticas], encontramos que [matemáticas] 69 = 19 + 2 \ cdot 25 \ equiv 3 + 2 \ cdot 1 = 5 \ equiv 1 \ mod 4 [/ math] y [math] 69 \ equiv 19 \ mod 25 [/ math]. Por lo tanto, [math] 69 [/ math] es el módulo 100 de resto único con las mismas propiedades que [math] 1829 ^ {1829} [/ math], lo que significa los dos últimos dígitos de [math] 1829 ^ {1829} [ / matemáticas] son ​​[matemáticas] 69 [/ matemáticas].