Siento que la pregunta correcta debería ser:
¿Hay infinitos enteros que no tienen la forma [matemática] (2n + 1) m + n [/ matemática] para enteros positivos [matemática] n, m [/ matemática] ?
Como señaló Giles, la respuesta es no si los enteros no están delimitados, y obligarlos a ser mayores que [math] 1 [/ math] realmente no ayuda.
Deje que [math] x [/ math] sea su entero objetivo; por lo tanto, nos preguntamos si hay números infinitos [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] (2n + 1) m + n = x [/ matemática], que podamos escribir como [matemática] 2mn + m + n = x [/ matemáticas]. Ahora aquí viene el truco: queremos modificar esta ecuación para obtener una equivalente que podamos factorizar. Experimentando un poco, puedes notar que si multiplicas todo por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y agregas [matemáticas] 1 [/ matemáticas] obtienes:
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[matemáticas] 4mn + 2m + 2n + 1 = 2x + 1 [/ matemáticas]
¡Lo cual podemos factorizar! De hecho, eso es equivalente a:
[matemáticas] (2m + 1) (2n + 1) = 2x + 1 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que ambos términos en el lado izquierdo son impares, y también el lado derecho es impar. Además, dado que [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son positivas, entonces [matemática] 2m + 1 [/ matemática] y [matemática] 2n + 1 [/ matemática] son al menos [ matemáticas] 3 [/ matemáticas]. ¡Esto significa que el lado derecho no puede ser un número primo!
Por lo tanto, si establece [matemática] x [/ matemática] de modo que [matemática] 2x + 1 = p [/ matemática] para un número primo impar [matemática] p [/ matemática], no existen soluciones para la ecuación anterior. Como hay infinitos números primos (impares), la respuesta es sí.