¿Por qué es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {(m) (m-1) … (m-n + 1)} {n!} = 0 [/ math], donde m es real número, yn es un entero positivo?

Answer 1

La afirmación no es cierta en general. De hecho, si tomamos [matemáticas] m = -1 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {m (m-1) \ ldots (mn + 1)} {n!} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (-1) ^ n \ frac {n!} {n!} [/ math],

que simplemente no converge. Sin embargo, podemos probarlo para [math] m \ geq 0 [/ math]. Evidentemente es cierto si [math] m [/ math] es un número entero (desde entonces el numerador será 0 para suficientemente grande [math] n [/ math]), por lo que podemos asumir libremente que [math] m = k + \ epsilon [/ math], donde [math] k [/ math] es un entero no negativo y [math] 0 <\ epsilon <1 [/ math].

Demostraremos que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {m (m-1) \ ldots (mn + 1)} {n!} \ right | = 0 [/ matemáticas],

lo que implica inmediatamente el resultado deseado. De hecho, es suficiente para demostrar que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {m (m-1) \ ldots (mn + 1)} {n!} \ right | \ leq 0 [/ math],

dado que esta secuencia está limitada a continuación por 0. Para hacer esto, tenga en cuenta que si [math] n> k + 2 [/ math], entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ frac {m (m-1) \ ldots (mn + 1)} {n!} \ right | = \ frac {(k + \ epsilon) (k – 1 + \ epsilon) \ ldots \ epsilon (1 – \ epsilon) (2 – \ epsilon) \ ldots (n – k – 1 – \ epsilon)} {n! } [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ leq \ frac {(k + 1)! (n – k – 1)!} {n!} [/ math].

Esto muestra que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {m (m-1) \ ldots (mn + 1)} {n!} \ right | \ leq \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {(k + 1)! (n – k – 1)!} {n!} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = (k + 1)! \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {(n – k – 1)!} {n!} = 0 [/ math],

y así hemos terminado.