Cómo mostrar que la función zeta es analítica solo usando series completas cuando Re (z)> 1

Answer 1

Para [math] Re (z)> 1 [/ math], tenemos la expresión convergente

[matemáticas] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ matemáticas].

Está claro que para cada número entero [math] n [/ math], la función [math] s \ mapsto \ frac {1} {n ^ s} [/ math] es analítica (ya que esta expresión puede escribirse como un composición de funciones exponenciales y logarítmicas). Por lo tanto, está claro que por cada número entero [matemática] N [/ matemática], la función [matemática] f_N (s) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {1} {n ^ s} [/ matemática ] es analítico (ya que es solo una suma de funciones analíticas).

Para completar la prueba, solo necesita saber algo sobre la convergencia de las funciones analíticas, específicamente, cuándo converge una secuencia de funciones analíticas con una función analítica. Un buen resultado es que si [math] f_N (s) \ rightarrow f (s) [/ math] de manera uniforme, entonces [math] f (s) [/ math] es analítico.

El resto es sencillo.