¿Existen aplicaciones prácticas (directas o indirectas) para encontrar grandes primos de Fermat? Creo que la criptografía es una, pero no tengo idea de por qué.

Answer 1

Los únicos primos Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65537, y a menudo el mayor Fermat prime 65537 = 2 ^ 16 + 1 se usa en códigos criptográficos, ya que hace que la criptografía sea menos vulnerable al “ataque de bajo exponente público”. (Ataque de almohadilla corta de calderero), ver [1].

Además de la criptografía, y anteriores a eso, los primos de Fermat están relacionados con la construcción de polígonos con regla y compás: un polígono regular de lados impares es construible si y solo si su número de lados es un producto de primos de Fermat distintos. multiplicado por una potencia de 2 ([2]).

Por lo tanto, decidir si hay otros números primos de Fermat, o incluso si el número de números primos de Fermat es finito o infinito, será de cierta relevancia para ambas áreas.

[1] – Don Calderero. Pequeñas soluciones a ecuaciones polinómicas y vulnerabilidades RSA de bajo exponente Journal of Cryptology. Septiembre de 1997, Volumen 10, Número 4, págs. 233–260.

[2] -Eric Weisstein. Polígono constructivo. De MathWorld – Un recurso web de Wolfram. Polígono Construible

Answer 2

No hay aplicaciones prácticas para encontrar imprimaciones grandes de Fermat. La criptografía ciertamente no es ayudada por ella. Si necesita elegir números primos secretos grandes para su clave privada, lo peor que puede hacer es elegirlos de una familia especial como los números primos Fermat.

Indirectamente, la búsqueda de grandes números primos de Fermat motiva algunos avances en nuestra comprensión de ciertos aspectos de la teoría de números y nos permite practicar la computación paralela con un objetivo concreto. En cualquiera de esas cosas no se puede decir que sea central o crucial, pero es algo divertido y concreto para trabajar.