¿[Math] f (x) = x ^ 3- (x-1) ^ 3 [/ math] siempre produce un número primo?

Answer 1

No, no todos los valores de [math] x [/ math] producen un número primo. Un caso obvio es [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle f (1) = 1 ^ 3- (1–1) ^ 3 = 1 \ tag1 [/ matemáticas]

Que por definición, no es primo.

De hecho, en [matemáticas] 1752 [/ matemáticas], Goldbach demostró que ningún polinomio con coeficientes enteros puede generar un número primo para cualquier entrada entera.

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Sin embargo , hay cosas como polinomios productores de primer orden. Es solo que, después de un conjunto de números, dejan de producir números primos.

Un ejemplo obvio es el polinomio generador principal de Euler :

[matemáticas] \ displaystyle n ^ 2-n + 41 = 0 \ tag2 [/ matemáticas]

Lo que genera números primos para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] n = 40 [/ matemáticas].

Answer 2

Solo apilando aquí, lo sé. Mi entrada fue “PrimeQ [# ^ 3 – (# – 1) ^ 3] & / @ Range [2,10]”.

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Answer 3

No. Como otros señalaron, [matemáticas] f (6) [/ matemáticas] no es primo.

En general, ningún polinomio no constante de una sola variable con coeficientes enteros produce solo números primos, ni siquiera puede producir solo números primos con solo muchas excepciones. Ese es un buen problema para pensar; La solución es elemental, pero no necesariamente obvia.

Existe un polinomio en varias variables y coeficientes enteros con la propiedad de que cualquier valor que produce sea un número primo negativo o positivo y, además, produce todos los números primos (en realidad, hay más de uno de esos polinomios). Esto es una consecuencia de un importante teorema conocido como el teorema de Matiyasevich, que establece que cualquier conjunto recursivamente enumerable de números naturales es representable de tal manera usando polinomios.

Answer 4

Ningún polinomio con coeficientes enteros puede producir solo números primos en valores enteros, y [matemática] f (x) = x ^ 3- (x-1) ^ 3 = 3x ^ 2–3x + 1 [/ matemática]. De hecho, si [math] x \ equiv 2 \ pmod {7} [/ math], entonces

[matemática] f (x) = 3x (x-1) + 1 \ equiv (3 \ cdot 2 \ cdot 1) +1 \ equiv 0 \ pmod {7} [/ matemática].

Entonces [matemática] 7 \ mid f (7k + 2) [/ matemática] para todos [matemática] k \ in \ mathbb Z [/ matemática], y hay infinitas excepciones ya que [matemática] f (x) = 7 [ / math] si y solo si [math] x = 2 [/ math] o [math] -1 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 5

Usemos la fórmula de factorizar una diferencia de cubos .

[matemáticas] f (x) = x ^ 3- (x-1) ^ 3 = (x-x + 1) * (x ^ 2 + x ^ 2-x + x ^ 2-2x + 1) = 1 * (3x ^ 2-x + 1) = 3x ^ 2-3x + 1 [/ matemáticas]

La expresión [matemática] 3x ^ 2-3x + 1 [/ matemática] no es primo si [matemática] x = 6 [/ matemática] ya que [matemática] 108-18 + 1 [/ matemática] y [matemática] 91 [/ matemática ] se puede dividir entre [matemáticas] 13 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la respuesta es no.

Answer 6

f [matemáticas] (x) = x ^ 3 – (x-1) ^ 3 [/ matemáticas] no siempre da un número primo. De hecho, no hay una expresión algebraica que siempre dé números primos.

Ejemplo, [matemáticas] 6 ^ 3 – 5 ^ 3 = 91 [/ matemáticas] que no es primo.

Answer 7

Asumiré que te refieres con x = enteros solamente.

• X = 1, luego f (1) = 1. No es primo, pero generalmente es excusable.
• X = 2, luego f (2) = 7. Prime.
• X = 3, luego f (3) = 19. Prime.
• X = 6, entonces f (6) = 91. No es primo. 13 * 7 = 91.
• X = 8, entonces f (8) = 169. No es primo. 13 * 13 = 169.

Por lo tanto, la fórmula no siempre proporciona una prima.

Answer 8

Todos deberían escuchar la respuesta de Alon Amit porque 1) es correcto y 2) es Alon Amit, así que ya estabas leyendo su respuesta.

Aquí hay un polinomio al que se refiere que produce un número negativo o un número primo positivo y produce siempre un número primo.

[matemáticas] P (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z) = (k + 2) \ {1- [wz + h + jq] ^ 2 – [(gk + 2g + k + 1) (h + j) + hz] ^ 2- [2n + p + q + ze] ^ 2- [16 (k + 1) ^ 3 (k + 2) (n + 1) + 1-f ^ 2] ^ 2- [e ^ 3 (e + 2) (a +1) ^ 2 + 1-o ^ 2] ^ 2 – [(a ^ 2-1) y ^ 2 + 1-x ^ 2] ^ 2- [16r ^ 2y ^ 4 (a ^ 2-1) + 1-u ^ 2] ^ 2- [n + l + vy] ^ 2 – [\ left ((a + u ^ 2 (u ^ 2-a ^ 2) ^ 2-1 \ right) (n + 4dy) ^ 2 + 1- (x + cu) ^ 2] ^ 2 – [(a ^ 2-1) l ^ 2 + 1-m ^ 2] ^ 2- [q + y (ap-1) + s (2ap + 2a-p ^ 2-2p-2) -x] ^ 2- [z + pl (ap) + t (2ap-p ^ 2-1) -pm] ^ 2- [ai + k + 1-li] ^ 2- [p + l (an-1) + b (2an + 2a-n ^ 2-2n-2) -m] ^ 2 \} [/ matemáticas]

No sé cómo Jones, Sato, Wada y Wiens lo construyeron.

Y sí, básicamente estoy copiando y pegando una respuesta que escribí ayer. Pero todavía estoy super bombeado. Aprendí sobre este polinomio.

Answer 9

a ^ 3 -b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 = ab + b ^ 2): esta es la diferencia de dos cubos.

Entonces, x ^ 3- (x-1) ^ 3 = (x-x + 1) [x ^ 2 + x (x-1) + (x-1) ^ 2] = 1 (x ^ 2 + x ^ 2-x + x ^ 2–2x + 1) = 3x ^ 2 -3x +1).

Parece ser cierto para cualquier número que he intentado. Pero eso no es exhaustivo en lo que respecta al rigor matemático.

Me gustaría ver a alguien refutarlo.

Answer 10

Su función es [matemáticas] 3 * x ^ 2–3 * x + 1 [/ matemáticas];

Es un hecho conocido que los números primos se pueden escribir como [matemáticas] 6k-1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6k + 1 [/ matemáticas].

Sin embargo, ¡no todos los números que son [matemática] 6k-1 [/ matemática] o [matemática] 6k + 1 [/ matemática] son ​​primos!

[matemáticas] 3 * x ^ 2–3 * x + 1 = 6 * k – 1 [/ matemáticas] <=> ([matemáticas] 3 * x ^ 2–3 * x) mod 6 = 4 [/ matemáticas] o [matemática] mod 3 = 1 [/ matemática], lo cual no es cierto.

[matemática] 3 * x ^ 2–3 * x + 1 = 6 * k + 1 [/ matemática] <=> [matemática] x ^ 2 – x = 2k [/ matemática], [matemática] x ^ 2-x = x (x-1) [/ math], pero cada producto de dos números consecutivos es par;

Entonces [matemática] f (x) = 6 * k + 1 [/ matemática], por cada x natural, con k natural, pero no cada [matemática] 6 * k + 1 [/ matemática] que obtienes es primo.

Answer 11

No, esto es falso para cualquier polinomio (no constante) con coeficientes enteros, la siguiente prueba de este hecho es muy elemental. Elija un número entero a tal que f (a): = y no sea + o – 1 o 0 (posible para f no constante ya que por álgebra thm fundamental solo puede cruzar cada 1, -1 y 0 como máximo el grado de polinomio # de veces), luego vuelva a expresar f como polinomio en u = x + a so f (x + a) = g (u) entonces g es un polinomio entero no constante con g (0) = y. Ahora g (ny) para cualquier n entero claramente tiene y como factor y no siempre es + o – y o 0 (nuevamente por thm fundamental), por lo que, en particular, para alguna elección de ny es un factor de g (ny) en un no La forma trivial que muestra g (ny) = f (ny + a) adquiere un valor compuesto.

Answer 12

No existe una fórmula polinómica no constante que siempre nos dé números primos. Supongamos que hay uno, llámelo P. Entonces P (1) = p es primo. Para Newton, tenemos que para cualquier k, P (1 + kp) es divisible por p. Pero P (1 + kp) también es primo, por lo que debería suceder que P (1 + kp) = p = P (1), cualquiera que sea k. Lo que significaría que P es constante. (Wikipedia)

Hay algunos que sirven hasta cierto intervalo, pero no siempre.

Answer 13

No será divisible por 2, 3 o 5, lo que le da una mejor oportunidad de ser primo que la mayoría de las expresiones, pero los factores de 7, 11, 13, etc. surgen con tanta frecuencia como la probabilidad aleatoria predeciría.

Answer 14

No. Trace el gráfico, obtendrá un gráfico continuo en términos de -x ^ 2 y sabemos que los números primos son discretos, mientras que el gráfico obtenido es continuo, es decir, que comprende una gran cantidad de números primos y no primos

Answer 15

Answer 16

primeros 100 ensayos realizados por programa en caso de que quiera ver los resultados. da x entonces

f (x) entonces si f (x) era primo o no. Además, ignore las dos primeras pruebas, mi algoritmo funciona, pero no para esos dos números.

La prueba f (x) = x ^ 3- (x-1) ^ 3 siempre produce un número primo

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x: 0.0f (x): 1.0 Prime: verdadero

x: 1.0f (x): 1.0 Prime: verdadero

x: 2.0f (x): 7.0 Prime: verdadero

x: 3.0f (x): 19.0 Prime: verdadero

x: 4.0f (x): 37.0 Prime: verdadero

x: 5.0f (x): 61.0 Prime: verdadero

x: 6.0f (x): 91.0 Prime: falso

x: 7.0f (x): 127.0 Prime: verdadero

x: 8.0f (x): 169.0 Prime: falso

x: 9.0f (x): 217.0 Prime: falso

x: 10.0f (x): 271.0 Prime: verdadero

x: 11.0f (x): 331.0 Prime: verdadero

x: 12.0f (x): 397.0 Prime: verdadero

x: 13.0f (x): 469.0 Prime: falso

x: 14.0f (x): 547.0 Prime: verdadero

x: 15.0f (x): 631.0 Prime: verdadero

x: 16.0f (x): 721.0 Prime: falso

x: 17.0f (x): 817.0 Prime: falso

x: 18.0f (x): 919.0 Prime: verdadero

x: 19.0f (x): 1027.0 Prime: falso

x: 20.0f (x): 1141.0 Prime: falso

x: 21.0f (x): 1261.0 Prime: falso

x: 22.0f (x): 1387.0 Prime: falso

x: 23.0f (x): 1519.0 Prime: falso

x: 24.0f (x): 1657.0 Prime: verdadero

x: 25.0f (x): 1801.0 Prime: verdadero

x: 26.0f (x): 1951.0 Prime: verdadero

x: 27.0f (x): 2107.0 Prime: falso

x: 28.0f (x): 2269.0 Prime: verdadero

x: 29.0f (x): 2437.0 Prime: verdadero

x: 30.0f (x): 2611.0 Prime: falso

x: 31.0f (x): 2791.0 Prime: verdadero

x: 32.0f (x): 2977.0 Prime: falso

x: 33.0f (x): 3169.0 Prime: verdadero

x: 34.0f (x): 3367.0 Prime: falso

x: 35.0f (x): 3571.0 Prime: verdadero

x: 36.0f (x): 3781.0 Prime: falso

x: 37.0f (x): 3997.0 Prime: falso

x: 38.0f (x): 4219.0 Prime: verdadero

x: 39.0f (x): 4447.0 Prime: verdadero

x: 40.0f (x): 4681.0 Prime: falso

x: 41.0f (x): 4921.0 Prime: falso

x: 42.0f (x): 5167.0 Prime: verdadero

x: 43.0f (x): 5419.0 Prime: verdadero

x: 44.0f (x): 5677.0 Prime: falso

x: 45.0f (x): 5941.0 Prime: falso

x: 46.0f (x): 6211.0 Prime: verdadero

x: 47.0f (x): 6487.0 Prime: falso

x: 48.0f (x): 6769.0 Prime: falso

x: 49.0f (x): 7057.0 Prime: verdadero

x: 50.0f (x): 7351.0 Prime: verdadero

x: 51.0f (x): 7651.0 Prime: falso

x: 52.0f (x): 7957.0 Prime: falso

x: 53.0f (x): 8269.0 Prime: verdadero

x: 54.0f (x): 8587.0 Prime: falso

x: 55.0f (x): 8911.0 Prime: falso

x: 56.0f (x): 9241.0 Prime: verdadero

x: 57.0f (x): 9577.0 Prime: falso

x: 58.0f (x): 9919.0 Prime: falso

x: 59.0f (x): 10267.0 Prime: verdadero

x: 60.0f (x): 10621.0 Prime: falso

x: 61.0f (x): 10981.0 Prime: falso

x: 62.0f (x): 11347.0 Prime: falso

x: 63.0f (x): 11719.0 Prime: verdadero

x: 64.0f (x): 12097.0 Prime: verdadero

x: 65.0f (x): 12481.0 Prime: falso

x: 66.0f (x): 12871.0 Prime: falso

x: 67.0f (x): 13267.0 Prime: verdadero

x: 68.0f (x): 13669.0 Prime: verdadero

x: 69.0f (x): 14077.0 Prime: falso

x: 70.0f (x): 14491.0 Prime: falso

x: 71.0f (x): 14911.0 Prime: falso

x: 72.0f (x): 15337.0 Prime: falso

x: 73.0f (x): 15769.0 Prime: falso

x: 74.0f (x): 16207.0 Prime: falso

x: 75.0f (x): 16651.0 Prime: verdadero

x: 76.0f (x): 17101.0 Prime: falso

x: 77.0f (x): 17557.0 Prime: falso

x: 78.0f (x): 18019.0 Prime: falso

x: 79.0f (x): 18487.0 Prime: falso

x: 80.0f (x): 18961.0 Prime: falso

x: 81.0f (x): 19441.0 Prime: verdadero

x: 82.0f (x): 19927.0 Prime: verdadero

x: 83.0f (x): 20419.0 Prime: falso

x: 84.0f (x): 20917.0 Prime: falso

x: 85.0f (x): 21421.0 Prime: falso

x: 86.0f (x): 21931.0 Prime: falso

x: 87.0f (x): 22447.0 Prime: verdadero

x: 88.0f (x): 22969.0 Prime: falso

x: 89.0f (x): 23497.0 Prime: verdadero

x: 90.0f (x): 24031.0 Prime: falso

x: 91.0f (x): 24571.0 Prime: verdadero

x: 92.0f (x): 25117.0 Prime: verdadero

x: 93.0f (x): 25669.0 Prime: falso

x: 94.0f (x): 26227.0 Prime: verdadero

x: 95.0f (x): 26791.0 Prime: falso

x: 96.0f (x): 27361.0 Prime: verdadero

x: 97.0f (x): 27937.0 Prime: falso

x: 98.0f (x): 28519.0 Prime: falso

x: 99.0f (x): 29107.0 Prime: falso

x: 100.0f (x): 29701.0 Prime: falso

Answer 17

No. [matemáticas] f (6) = 91 = 13 \ veces 7. [/ matemáticas]

Answer 18

No. Toma x = 6

Answer 19

No, f (1) = 1, que no es un número primo

Answer 20

No, si x = 8, entonces f (x) = 169, que es un cuadrado perfecto, no un número primo