¿Cuáles son las soluciones de números enteros y primos de [matemática] x ^ 3 + y ^ 2 + z ^ p = 0 [/ matemática] donde [matemática] p> 7 [/ matemática] es primo, [matemática] xyz \ neq 0 [ / math] y [math] z \ neq -1 [/ math]?

Vamos a traducir esto en una ecuación de “Fermat generalizado” [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 2 = z ^ p [/ matemáticas]; como [math] p [/ math] es extraño, podemos reescribir [math] z [/ math] como [math] -z [/ math].

Véanse, por ejemplo, las diapositivas 44 y 45 de http://swc.math.arizona.edu/aws/…, o el documento de referencia de Darmon y Granville para este caso: http://www.math.mcgill.ca/ Darmon …

La suma de los recíprocos de los exponentes [matemática] 1/3 + 1/2 + 1 / p \ leq 1/3 + 1/2 + 1/11 <1 [/ matemática], por lo que esta no es la elíptica de buen comportamiento caso. Darmon y Granville demostraron que solo hay muchas soluciones finitas para cualquier ecuación de este tipo (incluida la más general [matemática] Ax ^ 3 + By ^ 2 = Cz ^ p [/ math]).

Desafortunadamente, en ese mismo documento encontrará todas las soluciones conocidas actualmente para el caso del exponente [matemático] (2,3, p) [/ matemático], incluido [matemático] 9262 ^ 3 + 15312283 ^ 2 = 113 ^ 7 [/ matemático ] No se conocen valores para [matemática] p> 7 [/ matemática]. Consulte también la tabla en https://www.staff.science.uu.nl/… y los resultados para [math] p = 7 [/ math] aquí: https://arxiv.org/pdf/math/05081…

Aquí puede encontrar otra encuesta de los casos conocidos (a partir de 2013): https: //pdfs.semanticscholar.org…

Drumroll, ddddddddddddddddddddddddddddddddddddd ¡haz tu propia tarea!