¿Crees que la hipótesis de Riemann es incluso posible de probar o refutar y qué tal el resto de los problemas del Milenio? Educación te da un futuro mejor

Alon Amit tiene razón cuando dice que no lo sabemos. Es difícil justificar nuestros sentimientos acerca de la probabilidad de que los hechos matemáticos sean ciertos (por ejemplo, la probabilidad de que la hipótesis de Riemann sea demostrable en un sistema de axiomas como ZFC, que en sí mismo es una declaración matemática). La gente ha tratado de desarrollar una noción de fuerza de evidencia en matemáticas y no se escucha mucho al respecto porque tal idea realmente no ha despegado. Para muchos de nosotros, buscar a través de miles de millones de ceros de la función zeta y no encontrar un contraejemplo de la hipótesis de Riemann parece una buena razón para pensar que la hipótesis de Riemann es al menos cierta (ya sea comprobable o no), pero ¿por qué uno esperaría el primer contraejemplo para ser tan pequeño como eso? Comparación con hipótesis aparentemente similares.

La hipótesis de Riemann se conjeturó en un momento en que la cantidad de trabajo matemático que se había realizado anteriormente era una pequeña fracción de lo que se ha hecho hasta hoy. Entonces, en cierto sentido, la mayor parte de la historia matemática ha pasado con ese problema sin resolver. También es el tipo de cosas que mucha gente ha intentado resolver. No escuchas sobre la mayoría de esto porque la mayoría de los intentos no van a ninguna parte. Pero es más atractivo que cosas como el problema [matemático] 3n + 1 [/ matemático] o la existencia de números perfectos impares. La no existencia de números perfectos impares fue adivinada hace mucho tiempo por los griegos, pero supongo que no se ha trabajado tanto.

Quizás podría justificar estadísticamente las intuiciones de los matemáticos sobre cuánto tiempo tomarán resolver varios tipos de problemas, para problemas que requieren mucho menos tiempo para resolver. Sin embargo, en el extremo superior de la escala, es difícil decir qué sería incluso una buena razón para pensar que somos buenos para adivinar cuál de los problemas más difíciles solo tomará un siglo o no será solucionable en absoluto. No existe el tipo de verificación de la realidad que uno puede obtener para obtener los más fáciles.

Sin embargo, habiendo privado mi respuesta de casi todo significado, aquí está mi sentimiento. Todos los días de la semana, tengo la sensación de que todos los problemas del milenio se pueden resolver, probablemente en este siglo o en el próximo, salvo un colapso importante de la civilización.

Para el que tengo menos confianza es el problema P vs. NP. P = NP es el que huele más a lógica matemática, computabilidad, etc. Parece más cercano a ser un principio fundamental que uno debe asumir. Se ha reformulado como una pregunta sobre el poder de algunos lenguajes lógicos simples. Scott Aaronson ha explicado por qué uno debería esperar que sea inmensamente difícil de probar, por lo que el hecho de que aún no lo hayamos resuelto no sirve como evidencia de mucho más de lo que ya sabemos. Todavía me parece que es el tipo de cosas que la informática teórica “simplemente” no tiene la madurez suficiente para abordar todavía. Sin embargo, no hay una garantía sólida de que sea posible.

La hipótesis de Riemann y las conjeturas de Birch y Swinnerton-Dyer pertenecen a funciones complejas relacionadas con la teoría de números. Uno puede ver que la teoría de números analíticos progresa en problemas más fáciles de un sabor similar. Existe un análogo de la hipótesis de Riemann para los campos de función probados en la década de 1940 (véase, por ejemplo, [0806.0044] La hipótesis de Riemann para los campos de función sobre un campo finito), que ciertamente es más fácil aunque aún difícil. Seguimos aprendiendo más sobre las funciones que tienen algunas de las mismas propiedades. Decir que estas conjeturas parecen cosas que uno podría resolver con “más de lo mismo” es demasiado simple, pero tampoco parece que sean problemas de un tipo completamente diferente de lo que la gente está mejorando gradualmente para resolver.

Charlé una vez con un matemático experto en teoría de números más directamente relacionado con la conjetura de Hodge que con lo que conocía, y mi impresión general fue como escuchar a un alpinista describir ver montañas varias veces más altas que el Everest. Sin embargo, al igual que varios de los otros problemas, parece que tiene su hogar en un panorama de otros problemas relacionados con él, difíciles de manejar, pero donde vemos que se están haciendo progresos. En otro contexto, la solución a un problema matemático se comparó con la construcción de una rampa de asedio, difícil pero en última instancia exitosa. Parece fácil imaginar que lleva varias generaciones de progreso y luego se derrumba.

Nunca trabajé seriamente con ecuaciones diferenciales o teoría de campo de indicadores. Sin embargo, incluso como un extraño, mi sensación acerca de que la “brecha de masa” o el problema del milenio de turbulencia es realmente imposible de resolver es que la realidad tendría que estar jugando algún tipo de truco sucio para nosotros. Algunas propiedades de los objetos matemáticos parecen “normalmente” estar razonablemente cerca de ser computables. Puede ser que determinar si un PDE tiene una solución, o si todas las soluciones satisfacen alguna desigualdad, no es realmente computable. Si es así, parece mucho más un tecnicismo que resultados de incompatibilidad similares para máquinas Turing arbitrarias como las que aparecen en el problema P vs. NP, o incluso la inconfundibilidad de poder determinar si un polinomio en varias variables tiene soluciones enteras en número teoría. Woodin, el teórico del conjunto, ha hablado de dominios en los que uno no tiene un conjunto completo real de axiomas, pero en el que parece ser que las declaraciones “normalmente” se pueden probar o refutar a partir de algún conjunto natural de axiomas.