Ecuación de círculo con puntos finales de diámetro
[matemática] ⇒ \ en caja {(x − x_1) (x − x_2) + (y − y_1) (y − y_2) = 0} [/ matemática]
Prueba:
Deje que [matemática] A (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] B (x_2, y_2) [/ matemática] sean los puntos finales del diámetro del círculo como se muestra en el diagrama.
- ¿Es el círculo un arco en sí mismo?
- ¿Cuál es la fórmula para el área del triángulo equilátero?
- Si un círculo está inscrito en un triángulo equilátero con cada lado con una longitud de 3 unidades, ¿cuál es la circunferencia del círculo?
- ¿Es posible tomar una serie de líneas rectas conectadas y redondear el lugar donde se encuentran para que toda la curva sea diferenciable?
- ¿Cuál es el área de superficie mínima de un cuboide si el volumen es 600 ly el rectángulo inferior tiene bordes x y 2x?
Deje que [matemática] P (x, y) [/ matemática] sea cualquier punto del círculo. Conecta los puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] con el punto [matemática] P [/ matemática] y forma un ángulo [matemática] 90∘ [/ matemática] entre ellos, (axioma popular : El ángulo en un semicírculo es un ángulo recto).
Primero, encontremos las pendientes de las líneas [math] PA [/ math] y [math] PB [/ math] como:
Pendiente de la línea [matemática] m_1 = PA = \ dfrac {y − y_1} {x − x_1} [/ matemática]
Pendiente de la línea [matemática] m_2 = PB = \ dfrac {y − y_2} {x − x_2} [/ matemática]
Como [math] ∠APB = 90∘ [/ math], entonces las líneas [math] PA [/ math] y [math] PB [/ math] son perpendiculares entre sí, por lo tanto, el producto de sus pendientes es [math ] m_1 × m_2 = −1 [/ matemática].
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {y − y_1} {x − x_1} × \ dfrac {y − y_2} {x − x_2} = – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]
[matemáticas] (y − y_1) (y − y_2) = – (x − x_1) (x − x_2) [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemática] ⇒ \ en caja {(x − x_1) (x − x_2) + (y − y_1) (y − y_2) = 0} [/ matemática] es la ecuación requerida del círculo con los puntos finales dados (conocidos) de diametro.
Más ecuación de línea dada: [matemáticas] 3x + 4y = 12; [/ matemáticas]
en los ejes Y, [matemática] x = 0; [/ matemática] por lo tanto [matemática] y = 3; [/ matemática] [matemática] \ implica A (x_1, y_1) = (0,3) [/ matemática]
similar
en los ejes X, [matemática] y = 0; [/ matemática] por lo tanto [matemática] x = 4; \ implica B (x_2, y_2) = (4,0) [/ matemáticas]
Usando estos en la ecuación de círculo anterior obtenemos
[matemáticas] (x − 0) (x − 4) + (y − 3) (y − 0) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ boxed {\ boxed {x ^ 2–4x + y ^ 2–3y = 0}} [/ math] como la solución
Espero eso ayude,
¡¡Paz!!