Cómo encontrar el punto de intersección de un plano 3D y una línea recta

Answer 1

La respuesta a esto puede diferir dependiendo de la forma de las ecuaciones de su línea.

Algunos ejemplos:

x = 3 + 4t

y = 2 + t

z = 5 – 2t

O

(x – 1) / 4 = (y + 2) / 7 = (z – 2) / 3

O

(2, 5, 6) + t

…

La forma más fácil es convertir su línea en forma paramétrica (la forma superior de arriba).

Entonces, para el segundo ejemplo, pasarías de

(x – 1) / 4 = (y + 2) / 7 = (z – 2) / 3

a

(x – 1) / 4 = t

(y + 2) / 7 = t

(z – 2) / 3 = t

→

x – 1 = 4t → x = 4t + 1

y + 2 = 7t → y = 7t – 2

z – 2 = 3t → z = 3t + 2

Para el tercer ejemplo, pasarías de

(2, 5, 6) + t

a

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 6 + 5t

…

Una vez que tenga sus ecuaciones en forma paramétrica, hay dos pasos:

Paso 1): conecta tus ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano y resuelve t

Ejemplo:

x = 2 + t

y = 5 + 3t

z = 6 + 5t

Plano: 3x + 4y – 2z = 7

Enchufando:

3 (2 + t) + 4 (5 + 3t) – 2 (6 + 5t) = 7

6 + 3t + 20 + 12t – 12-10t = 7

34 + 5t = 7

5t = -27

t = -27/5

Paso 2) – Inserte el valor de la variable paramétrica (t en este caso) en la ecuación de línea, para obtener coordenadas de intersección

x = 2 + t = 2 + -27/5 = -17/5

y = 5 + 3t = 5 + 3 (-27/5) = -56/5

z = 6 + 5t = 6 + 5 (-27/5) = -21

Punto final: (-17/5, -56/5, -21)

…

Espero que esto ayude.

Answer 2

Pasos generales a seguir:

1. a partir de las ecuaciones de la recta, calcule x, y, z en función de un parámetro m.
2. Reemplace x (m), y (m) y z (m) en la ecuación del plano 3D
3. del paso 2 calcule el valor de m
4. Reemplace el valor de m en las ecuaciones de la línea para determinar la coordenada del punto de intersección

Answer 3

¿Cómo encuentro el punto de intersección de un plano 3D y una línea recta?

A2A *

Los vectores son útiles para resolver problemas geométricos. Consideremos el problema de encontrar el punto de intersección de una línea con un plano en el espacio, como en la figura.

Considere una línea L definida por los puntos T (dados) y P (que buscamos) y un plano B que contiene los puntos P y Q.

Podemos definir la línea paramétricamente mediante [math] \ mathbf {p} = \ mathbf {t} + \ alpha \ mathbf {v} [/ math] donde [math] \ mathbf {p} [/ math] y [math] \ mathbf {t} [/ math] son ​​vectores de posición de los puntos P y T, y [math] \ mathbf {v} [/ math] es el vector de dirección de la línea. Cualquier valor real particular para el parámetro [math] \ alpha [/ math] define un punto sobre la línea.
El vector [math] \ mathbf {b} [/ math] representa cualquier punto en el plano B, define el plano B y es ortogonal a ese plano. Por lo tanto, para cualquier vector como [math] \ mathbf {u} [/ math] en el plano, el producto punto [math] \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {u} [/ math] o [math] \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} – \ mathbf {p}) [/ math] es igual a cero; entonces, reemplazando la definición de [math] \ mathbf {p} [/ math]:

[math] \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} – (\ mathbf {t} + \ alpha \ mathbf {v})) = 0 [/ math], resolviendo para [math] \ alpha [/ math ] da [math] \ alpha = \ frac {\ mathbf {b} · (\ mathbf {q} – \ mathbf {t})} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {v}} [/ math] y reemplazando en la definición de [math] \ mathbf {p} [/ math]:

[math] \ mathbf {p} = \ mathbf {t} + \ frac {\ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {q} – \ mathbf {t})} {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf { v}} \ mathbf {v} [/ math]

Esta es la solución de la intersección de la línea L con el plano B.

EJEMPLO NUMÉRICO

Calcule la intersección de la línea L con el plano B como en la figura.

Deje que la línea L sea definida por el vector

v = v4 (0, 2, -3,1)

aplicado en el punto T

t = v4 (0,0,1,2)

Además, suponga que el plano está definido por el vector b, ortogonal al plano,

b = v4 (0,5, -10, -5)

y el punto Q en el plano, cuya posición se define con el vector

q = v4 (0,2, -1, -1)

Luego, el punto de intersección de la línea L con el plano B se calcula numéricamente con la instrucción:

p = t + (b * (qt)). s / (b * v) .s * v

cuyo resultado es

= p = v4 (0, 2.5714, -2.8571, 3.2857)

En la instrucción anterior, el “punto (s)” devuelve un v4 con solo el componente escalar de su argumento v4.