Este es un buen problema para usar el teorema de divergencia. Tiene un campo vectorial que se integra alrededor de una superficie cerrada altamente simétrica (una sección de un cilindro). Parametrizar las superficies es difícil, calcular las divergencias es mucho más fácil, por lo que este problema me grita el teorema de la divergencia.
Entonces usa esta ecuación:
[matemáticas] \ iint_ {S (V)} (a \ cdot n) dS = \ iiint_V (\ nabla \ cdot a) dV [/ math]
(la implementación de LaTeX de pah Quora no permite la notación integral de superficie cerrada típica, si alguien sabe de otra manera que \ oiint por favor dígame).
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La única parte difícil es convertir las condiciones de contorno que están actualmente en coordenadas euclidianas a condiciones de límite en coordenadas cilíndricas. Aquí hay una pista: no use la típica transformación de coordenadas cilíndricas donde su coordenada [math] z [/ math] permanece igual después de la transformación. En su lugar, use uno donde [math] y [/ math] permanezca igual. Eso facilitará la configuración de las condiciones de contorno. Desde allí, puede apagar su cerebro y calcular derivados e integrales con los que está muy familiarizado.
En cuanto a sus errores con la integral de superficie, hay múltiples. Su parametrización de la superficie se ve bien, pero creo que los límites en sus integrales son incorrectos (si está integrando alrededor de un cuarto de círculo que es lo que [matemática] z> 0, x> 0 [/ matemática] implica, su [matemática] u Los límites [/ math] deben ser de [math] 0 [/ math] a [math] \ pi / 4 [/ math]).
Pero esa es una fuente trivial de error en comparación con sus otros errores. Primero, parece haber entendido mal lo que significa [matemáticas] a \ cdot n [/ matemáticas]. Es un producto de punto, el mismo producto de punto con el que está muy familiarizado. Entonces su integrando debe ser un escalar, no un vector. Además de eso, si desea resolver este problema con las integrales de superficie, debe hacer 5 integrales de superficie separadas. La forma más fácil para mí de explicar esto es geométricamente. Como soy demasiado vago para codificar el renderizado para una superficie de un cuarto de cilindro en matlab, esto es algo que tomé de las imágenes de google:
fuente: todos los cilindros cinemáticos
Como puede ver ahora, su superficie tiene 5 caras. Dos planos en los ejes [matemática] x [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]. Secciones del plano circular de dos cuartos en los ejes [matemático] y [/ matemático] (uno en [matemático] y = 0 [/ matemático] y uno en [matemático] y = 2 [/ matemático]), y una sección cilíndrica unida por [matemáticas] 0 <\ theta <\ pi / 4 [/ matemáticas]. Hasta ahora solo ha configurado (incorrectamente) la integral de superficie para la sección cilíndrica de cuarto, todavía tiene cuatro superficies más para ir, amigo.
Entonces sí, hazte un favor y usa el teorema de divergencia.