Un cuadrado de área máxima está inscrito en un triángulo equilátero. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado y la del triángulo?

DADO: Un triángulo equilátero ABC.

Sea un cuadrado DEFG, cada lado = ‘a’ unidad está inscrita en el triángulo, cubriendo el área máxima, EF es perpendicular a BC. AH es perpendicular a DE.

DE ll BC, entonces, ángulo AED = ángulo ACB = 60 °

En triángulo EFC

Sin60 ° = a / EC

=> √3 / 2 = a / CE

=> CE = 2a / √3 …………. (1)

En el triángulo AHE

Cos 60 ° = a / 2 / AE

=> 1/2 = a / 2 / AE

=> AE = a …………… (2)

Entonces, el lado AC del triángulo = 2a / √3 + a

=> AC = (2 + √3) a / √3

=> AC = (2√3 + 3) a / 3 ……… .. (3)

Ahora área (squareDEFF) = a² ………. (4)

Y área (triángulo equilátero ABC) = √3 lado² / 4

=> √3 * AC² * 1/4

=> √3 * (2√3 + 3) ²a² / 9 * 1/4

=> √3 * (12 + 9 + 12√3) a² / 9 * 1/4

=> (21√3 + 36) a² / 9 * 1/4

=> área (triangleABC) = (21√3 + 36) a² / 36 ……… (5)

Now area (Square): area (eq.triangle) = eq (4) / eq (5)

=> a² / [(21√3 + 36) a² / 36]

=> 36a² / (21√3 + 36) a²

=> 12 / 7√3 + 12

12: (7√3 + 12)

No puedo mencionar todo escribiendo. Por lo tanto adjunto la imagen para su referencia. Ignore la letra y la escala de la imagen, ya que no soy bueno para dibujar y escribir a mano.

Creo que la respuesta es para un área máxima de rectángulo = (0.5) x Área del triángulo. La prueba se usa principalmente a través de triángulos similares.