Una esfera sólida, una esfera hueca, un cilindro sólido y un cilindro hueco se liberan desde la parte superior de un plano inclinado. ¿Qué objeto llega primero?

Answer 1

Suponga que cada objeto tiene la misma masa y el mismo diámetro exterior.

[matemáticas] \ Sigma T_A = I_A \ alpha [/ matemáticas]

Asumiré rotación en sentido horario = positivo,

[matemáticas] \ por lo tanto mg (sin \ theta) R = (I_A) \ alpha [/ matemáticas]

pero [matemáticas] \ alpha = \ frac {a} {R} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto mg (sin \ theta) R = (I_A) \ frac {a} {R} [/ matemática]

o

[matemáticas] a = \ frac {mg (sin \ theta) R ^ 2} {I_A} [/ matemáticas]

pero la tormenta del eje paralelo dice [matemática] I_A = I_C + mR ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] a = \ frac {mg (sin \ theta) R ^ 2} {I_C + mR ^ 2} [/ matemáticas]

El objeto con el menor momento de inercia de masa [matemática] (I_C) [/ matemática] tendrá la mayor aceleración en el plano.

Esfera sólida: [matemáticas] I_C = \ frac {2} {5} mR ^ 2 [/ matemáticas]

Cilindro sólido: [matemática] I_C = \ frac {1} {2} mR ^ 2 [/ matemática]

Esfera hueca de paredes delgadas: [matemáticas] I_C = \ frac {2} {3} mR ^ 2 [/ matemáticas]

La esfera sólida gana la carrera.

Answer 2

La esfera sólida. No voy a hacer los cálculos aquí, pero puedes buscar en Google “inercia rotacional” y verlo por ti mismo. Estas son las reglas en inglés simple y cómo se aplican al escenario:

La inercia rotacional aumenta a medida que aumenta la masa Y a medida que aumenta la distancia desde el centro de rotación. La capacidad de mover un objeto en el espacio depende de la masa y la fuerza. Pero la capacidad de ROTAR un objeto depende de la forma de ese objeto, así como de la masa y la fuerza.

Al permitir que los objetos giren bajo los efectos de la gravedad (rodando por una pendiente), la densidad de la materia utilizada para crear los objetos es irrelevante. Un objeto más denso tiene una mayor inercia rotacional, pero también experimenta una mayor fuerza gravitacional. Como en la mayoría de las soluciones newtonianas, ignoraremos los efectos atmosféricos y asumiremos una fricción estática perfecta entre el plano y los objetos.

Los objetos huecos concentran su masa cerca de los bordes. La masa eliminada ya no contribuye a la fuerza gravitacional. Sin embargo, la masa eliminada también tenía una inercia rotacional relativamente baja. En general, el objeto mantuvo gran parte de su inercia rotacional pero sacrificó una cantidad significativa de atracción gravitacional. Por lo tanto, un giro más lento por la pendiente.

De los dos sólidos, la esfera tiene un centro ‘más gordo’ y un borde ‘más delgado’. Intuitivamente, podemos decir que tendrá una inercia rotacional más baja que un cilindro sólido cuyo borde es tan gordo como su centro.

Recomiendo buscar las fórmulas para la inercia rotacional y ver por ti mismo las diferencias. Los memoricé cuando estaba en la escuela Mech Engrg, pero eso fue hace muchos años.

Answer 3

¡Suponiendo que la fuerza de fricción es la misma cantidad para cada objeto!

Rolling significa que ke se construye en energía rotacional así como en ke lineal. El ke total es el ke lineal más el rotacional, y por lo tanto se establece como mg. delta (h) para un descenso vertical dado bajo gravedad.

Ahora el balanceo ke es 1 / 2.I. w ^ 2. Ahora w es la velocidad angular sobre el eje de rotación del objeto rodante. Pero esto también es v / r donde v es la velocidad lineal yr es el radio axial de los objetos. Por lo tanto, todo se reduce a comparar el momento de inercia de los tres tipos de objetos, suponiendo que cada uno tenga el mismo radio.

Cuanto mayor es el I, menor es la energía que queda para ke lineal, es decir, la velocidad. Entonces, para masas iguales, la esfera hueca y el cilindro tendrán valores I más grandes que los otros dos porque depende de la distribución de masa y radio ^ 2. Entonces está entre la esfera sólida y el cilindro. La esfera tiene una I más baja que el cilindro, por lo que primero alcanzará el nivel del suelo.

Answer 4

Dado que no ha dado ninguna masa, propiedades del material, ángulo del plano inclinado, tamaño, resistencia a la rodadura o cualquier otra cosa, no se puede decir.

Answer 5

El que tiene la relación más pequeña entre el momento de inercia sobre su eje de rotación y es la masa. La razón es que sería la que ata la menor energía cinética en su rotación. Como el momento de inercia es mayor en los objetos cuya masa se distribuye más lejos de sus centros de masa, y dado que la esfera sólida distribuye mejor su masa más cerca del eje de rotación, debe llegar primero.

Answer 6

La gravedad es lo que es … gana el más pesado