Cómo calcular el volumen de un recipiente vertical

Answer 1

* A2A

Para ser sincero, tuve que buscar “recipiente vertical” para determinar lo que querías decir, y encontré esta imagen para posibles formas para recipientes verticales (estas son las secciones transversales verticales de sólidos cuyas secciones transversales horizontales son esféricas):

Parametrizaré mis respuestas en términos de varias variables:

• [matemática] R [/ matemática] es el radio de las secciones transversales horizontales del vaso (y, por lo tanto, también el radio de la parte cilíndrica de cada vaso).
• [matemática] h [/ matemática] es la altura hasta la que se llenan los contenidos del recipiente, suponiendo que el punto más bajo en cualquier recipiente corresponde a [matemática] h = 0 [/ matemática].
• Para el vaso cónico, [math] h_0 [/ math] será la altura de la porción cónica inferior desde la punta hasta donde el vaso se transforma en una forma cilíndrica.

Si bien traté de incluir las derivaciones para cada uno de estos, la respuesta comenzó a ser bastante larga, e imagino que el OP hizo esta pregunta en parte debido a la falta de comprensión del cálculo de todos modos, así que decidí publicar las soluciones en lugar.

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ text {2: 1 Elliptical}} (R; h) = \ begin {cases} \ dfrac {2 \ pi} {3} h ^ 2 (3R-2h) && h \ leq \ frac {R} {2} \\ \ dfrac {\ pi} {6} R ^ 2 (6h-R) && h> \ frac {R} {2} \ end {cases} [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ text {Hemispherical}} (R; h) = \ begin {cases} \ dfrac {\ pi} {3} h ^ 2 (3R-h) && h \ leq R \\ \ dfrac {\ pi} {3} R ^ 2 (3h-R) && h> R \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ text {Cónico}} (R, h_0; h) = \ begin {cases} \ dfrac {\ pi R ^ 2} {3h_0 ^ 2} h ^ 3 && h \ leq h_0 \\ \ dfrac {\ pi R ^ 2} {3h_0 ^ 2} \ left (h ^ 3 + 3h_0 ^ 2 (h-h_0) \ right) && h> R \ end {cases} [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ text {Flat}} (R; h) = \ pi R ^ 2h [/ math]