¿Hay alguna manera de averiguar las coordenadas de un punto bajo una rotación de 90 grados sin dibujar o cuando el diagrama no se muestra?

Answer 1

Sí, si conoce las coordenadas de un punto [matemáticas] P [/ matemáticas] en su figura original como [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas], puede calcular las coordenadas de [matemáticas] P [/ matemáticas ] después de la rotación y dada por [math] (x ‘, y’) [/ math] como

[matemáticas] x ‘= -y [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= x [/ matemáticas]

NB: me refiero a rotaciones sobre el origen. Si se trata de rotación sobre cualquier otro punto, es posible que desee incluir operaciones de traslación para desplazar el origen al punto de rotación y viceversa. Para rotaciones sobre un ángulo arbitrario, vea Matriz de rotación – Wikipedia.

Actualización: Parece que OP solicita específicamente el caso en el que el origen no es el punto de rotación. En ese caso, deje que el punto [matemáticas] O_1 (h, k) [/ matemáticas] sea el punto de rotación. Se requieren tres pasos:

1. Traducir el origen al punto [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas].
2. Rotar sobre el origen por [matemáticas] 90 ^ \ circ [/ matemáticas].
3. Volver a traducir el origen a la posición original.

Las transformaciones correspondientes para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​las siguientes:

[matemáticas] x \ a x – h \ a – (y – k) \ a – (y – k) + h [/ matemáticas]

[matemáticas] y \ a y – k \ a – (x – h) \ a (x – h) + k [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] x ‘= h + k – y [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= k – h + x [/ matemáticas]

Es fácil ver que el punto [math] O_1 (h, k) [/ math] en sí mismo es invariable bajo la transformación.

Answer 2

¿Hay una manera simple de rotar un punto 90 grados?

Si.

Después de una rotación de 90 grados en sentido antihorario (esa es la dirección convencional):

[matemáticas] (a, b) \ rightarrow (-b, a) [/ matemáticas]

¿Por qué funcionó eso?

Porque, bueno, hay muchas razones, pero la razón más fácil y elegante es la multiplicación.

[matemáticas] i (a + bi) = – b + ai [/ matemáticas]

¿Que qué?

El número complejo [math] a + bi [/ math] se representa como el punto [math] (a, b) [/ math] en el plano complejo, que es equivalente al plano cartesiano después de cambiar el nombre de los ejes. Como la multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas] es equivalente a una rotación de 90 grados en sentido antihorario en el plano complejo, hemos terminado, porque [matemáticas] -b + ai [/ matemáticas] se representa como [matemáticas] ( -b, a) [/ matemáticas].

Espera un segundo allí.

¿Estás seguro de que la multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas] crea una rotación de 90 grados?

En sentido contrario de las manecillas del reloj. Para rotar en el sentido de las agujas del reloj, multiplicaría por [math] -i [/ math] y terminaría en [math] (b, -a) [/ math].

Porque …

[matemáticas] -i (a + bi) = b-ai [/ matemáticas]

No respondiste la pregunta.

Bueno, no, pero lo implicaba, ¿verdad? Sí, estoy seguro de que la multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas] crea una rotación de 90 grados.

¡Por qué!

Debido a la notación polar.

[matemáticas] (x, y) = r (\ cos \ theta, \ sin \ theta) [/ matemáticas]

Donde [math] r [/ math] es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con [math] a [/ math] y [math] b [/ math] como patas, y [math] \ theta [/ math] es el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje positivo [matemático] x [/ matemático], o de manera equivalente, y más útil, el eje real positivo en el plano complejo.

Y por la fórmula de Euler.

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

¿Cómo ayuda eso?

Nos permite reescribir cualquier número complejo.

[matemáticas] a + bi = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

Eso si mide [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] en sus unidades naturales, radianes. En grados, tendría que reemplazar [math] \ theta [/ math] con [math] \ pi \ theta / 180 [/ math].

Eso se pone feo rápido.

Pero me gustan los grados!

Te gusta …

[matemáticas] e ^ {i \ pi \ theta / 180} = \ cos i \ pi \ theta / 180 + i \ sin i \ pi \ theta / 180 [/ matemáticas]

No hagamos eso.

Ok, pero ¿qué es 90 grados ahora?

En radianes, 90 grados se traducen en [matemáticas] \ pi / 2 [/ matemáticas]. Es un cuarto de un círculo completo que se mide como [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas].

Ahora, dado que [math] \ cos \ pi / 2 = 0 [/ math] y [math] \ sin \ pi / 2 = 1 [/ math], usando la fórmula de Euler, podemos escribir:

[matemáticas] i = 0 + 1i = \ cos \ pi / 2 + i \ sin \ pi / 2 = e ^ {i \ pi / 2} [/ matemáticas]

¿Nos estamos acercando a la rotación de 90 grados?

Todo lo que falta es una regla de exponente.

[matemáticas] a ^ ma ^ n = a ^ {m + n} [/ matemáticas]

Entonces, con [matemáticas] i = e ^ {i \ pi / 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + bi = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] i (a + bi) = e ^ {i \ pi / 2} re ^ {i \ theta} = re ^ {i \ theta + \ pi / 2} [/ math]

Hemos agregado [matemática] \ pi / 2 [/ matemática], eso es 90 grados, al ángulo [matemática] \ theta [/ matemática], sin cambiar su distancia desde el origen, como deseaba.

Espera, ¿qué hay de esa fórmula de Euler?

Proviene de la serie Taylor para [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas]. Otro día, ¿vale?

Answer 3

Puedes usar una transformación matricial.

La matriz [math] T = \ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] representa una transformación de [math] 90 ^ {\ circ} [/ math] en sentido antihorario sobre el origen.

Deje que nuestro punto original tenga coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} \ times \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} -y \\ x \ end {pmatrix }[/matemáticas]

Por lo tanto, las nuevas coordenadas son: [matemáticas] (- y, x) [/ matemáticas]