¿Por qué se enseña (la mayoría de) la geometría euclidiana, además de que las relaciones / pruebas son ingeniosas? ¿No podría usarse el álgebra (geografía analítica) para representar formas?

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Claro, la geometría analítica puede representar formas. Pero creo que te pierdes el punto de la geometría euclidiana. Además de ser ingenioso y ocasionalmente muy útil, la geometría te enseña a razonar. Dado un buen problema de geometría, necesita analizar qué hechos se le dan, comprender lo que necesita probar y razonar una manera de pasar de los hechos a la prueba y / o trabajar desde el resultado hacia los hechos.

Puede hacer lo mismo con la geometría analítica, pero el proceso es más directo, a veces más intuitivo, haciéndolo a la manera euclidiana.

Me han enseñado en ambos sentidos. Me dijeron que dibujara un diagrama incluso para la geometría analítica, para usar las cosas de Euclides para guiar la prueba algebraica. Me resistí a eso, hizo que el análisis fuera demasiado fácil. ¡Mucho más satisfactorio para resolver el problema de manera abstracta!