¿Puede el sistema de coordenadas de números imaginario coexistir con nuestro sistema de coordenadas cartesianas 2D o 3D?

Answer 1

No estoy seguro de qué se entiende por “coexistir”, así que permítanme dar un ejemplo absurdo .

Cuando en la escuela secundaria (en los años setenta :-), en la clase de álgebra, estábamos estudiando funciones 2D y = y (x). En un momento se propuso extenderlos a coordenadas complejas x e y, considerando que pertenecían “de alguna manera ” al plano (x, y) (!).

Ahora, tomemos estas ‘líneas rectas de isótropos ‘ y = ix , y apliquemos las mismas fórmulas habituales que para las coordenadas reales.
Entonces ‘descubriríamos’ que
– las líneas isotópicas son perpendiculares a sí mismas :
la perpendicular a y = Ax es y = (- 1 / A) x, entonces
la perpendicular a y = ix es y = (- 1 / i) x… = ix!
– la distancia entre dos puntos cualquiera de una línea de isótropo es cero :
Para y = Ax, dy = A dx, la distancia es ds = SQR (dx ^ 2 + dy ^ 2) = SQR (1 + A ^ 2) dx.
Entonces, para y = ix, dy = i dx y ds = SQR (1 + i ^ 2) dx… = 0!

Fui el único que no dio por sentado estas enseñanzas, pero me llevó bastante tiempo concluir que las funciones complejas * sí * tienen una existencia geométrica ‘real’ , no solo en el espacio ‘real’ sino en un espacio extendido ‘ complejo ‘espacio . Para cada variable imaginaria adicional, se debe ‘imaginar’ un eje geométrico adicional . Como los números complejos son bidimensionales, el espacio n ‘real’ de n variables reales corresponde a un espacio ‘complejo’ (n + n) de n variables complejas.

Esto, por supuesto, planteó el problema de la representación gráfica de funciones complejas . El caso 2D ‘mínimo’ y = y (x), complejo xey ya tomaría 4 dimensiones. En aquel entonces (e incluso ahora …) muchos se abstendrían de considerar siquiera cualquier gráfico en estos. Pero al darme cuenta de que una función compleja es una * superficie * en 4D (de hecho, es un ‘mapa’ del plano x o y complejo), y que las superficies 4D no deberían ser mucho más difíciles de proyectar en una superficie 3D En la imagen, luché y poco a poco logré poner mis primeras funciones en mm-paper, con la ayuda de una calculadora de bolsillo.

Entonces la respuesta final a la pregunta es:
n coordenadas imaginarias yn reales coexisten en un espacio de estructura compleja (n + n), con 2n ejes, n reales yn imaginarios.

Representar funciones complejas y = y (x) no solo es posible, sino que produce resultados hermosos . Es el tema principal de mis páginas web y videos de YT que se encuentran aquí:
brolproef
Complejo QB

Mi ejemplo típico: el círculo-hipérbola. En coordenadas complejas tienen la misma función (orientadas de manera diferente en el plano real):

Answer 2

Sí pueden.

El uso de la palabra imaginario para describir [matemáticas] \ sqrt {-1} [/ matemáticas] es bastante desafortunado. Crea la impresión de que los números imaginarios son de alguna manera entidades ficticias. Pero son tan “reales” como cualquier otro tipo de números.

Estamos acostumbrados a tratar números naturales (conteo), enteros (diferencia) y números reales (proporciones) regularmente en la vida. Por lo tanto, cree falsamente que los números imaginarios simplemente no existen y es por eso que se llaman imaginarios. Sin embargo, existen muchas aplicaciones de números imaginarios en problemas de la vida real. Por ejemplo, la intensidad del campo electromagnético tiene dos componentes y se pueden expresar convenientemente como un número complejo. Uno de los componentes es real mientras que el otro es imaginario, sin embargo, ambos componentes son reales en el sentido literal de la palabra.

Por lo tanto, los números imaginarios se pueden representar en un sistema de coordenadas como los sistemas de coordenadas 2D o 3D.

Answer 3

Parte de la dificultad está en las imágenes. Puede mostrar dos coordenadas para el plano complejo (como en la esquina superior izquierda de la imagen). Puede mostrar dos coordenadas para el plano euclidiano (como en la esquina inferior izquierda de la imagen). Pero incluso mostrar coordenadas para el espacio euclidiano (como en la parte inferior derecha de la imagen) requiere que dibuje un eje (el [matemático] x – [/ matemático] en la imagen) como una línea no perpendicular a los demás, a menos que usted use su imaginación.

Incluso su imaginación falla cuando intenta agregar más ejes, para espacios de 4 dimensiones, 5 dimensiones y superiores.

Entonces, los matemáticos que se ocupan de espacios de dimensiones superiores no intentan usar su imaginación; intentan usar manipulaciones algebraicas. Saben que las ecuaciones como [math] ax + by = c [/ math] describen una línea en dos dimensiones, [math] ax + by + cz = d [/ math] describen un plano en tres dimensiones, por lo que extrapolan y muestran que una ecuación como [math] a_1x_1 + a_2x_2 + \ cdots + a_nx_n = c [/ math] describe una hiperesuperficie plana [math] (n-1) [/ math] -dimensional en un hiperespacio dimensional [math] n- [math] dimensional . Obviamente, son posibles ecuaciones más complejas, y se utilizan. Simplemente no intentan graficar una hiperesuperficie de 5 dimensiones, porque la capacidad de visualizarla en su imaginación falla.

Como tal, no perturba las matemáticas imaginar que las [matemáticas] a_n, x_n, c [/ matemáticas] en las ecuaciones anteriores podrían ser complejas. Es difícil dibujar, pero hay que dejar de dibujar alguna vez.

Dicho esto, los dibujos pueden ser increíblemente útiles para comprender lo que está sucediendo, incluso si el eje es imaginario.

Tome la mayoría de las representaciones de Minkowsky Spacetime, como esta imagen que obtuve de Wikipedia:

El espacio-tiempo es una estructura de 4 dimensiones, pero en este diagrama se suprime una de las dimensiones del espacio para que sea posible dibujar. Pero la razón por la que menciono esto no es porque es un dibujo bidimensional de una simplificación tridimensional de un sistema de 4 dimensiones, con todas las aproximaciones y distorsiones involucradas, sino porque es muy, muy útil cuando se trata de entender esto. sistema para tratar el eje del tiempo como imaginario. Muchas de las matemáticas del espacio-tiempo funcionan bien si se mide el tiempo en [matemáticas] i [/ matemáticas] segundos, en lugar de segundos reales.

Answer 4

Claro, en lugar de solo tener un número imaginario, tenga un vector de ellos.

[matemáticas] z = (x_1 + iy_1, x_2 + iy_2) [/ matemáticas]

O podría crear un vector de una mezcla de números reales y complejos.

La verdadera pregunta es si obtienes algo particularmente informativo de esto.

Answer 5

A2A: Sí, en múltiples sentidos. El conjunto de números complejos se puede asociar de 1 a 1 con puntos en el plano 2D normal (como se hace a menudo). También es posible tener vectores multidimensionales en los que cada coordenada es un número complejo. Tales vectores se usan en algunas teorías de la física.