¿Cuál sería la ecuación de un círculo que pasa por el origen y corta las intersecciones en ambos ejes de coordenadas?

MÉTODO 1 :

En este caso, el círculo pasa por el origen. Y si el círculo corta el eje x en el punto (a, 0) y si corta el eje y en un punto (0, b). Ahora tienes tres puntos en el círculo.

Como saben, la ecuación general de un círculo viene dada por

x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 resuelva esto para los tres puntos y obtendrá la ecuación requerida del círculo.

MÉTODO 2:

Puedes usar otro método. Solo vea que el círculo atraviesa el origen y en el origen los ejes x e y son perpendiculares y también sabe que el ángulo semicircular es un ángulo recto. Entonces, los puntos en los ejes xey están en el lado opuesto de un diámetro del círculo. Entonces el punto medio de estos dos puntos será el centro del círculo. En este caso (a / 2, b / 2). Puede encontrar fácilmente el radio del círculo calculando la distancia entre el centro y el origen.

(xa / 2) ^ 2 + (yb / 2) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 4.

MÉTODO 3:

Has llegado a saber que (a, 0) y (0, b) son puntos diametralmente opuestos.

Por lo tanto, puedes escribir directamente

(xa) x + (yb) y = 0

Esta es la ecuación de tu círculo.

La ecuación general es

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. [/ matemáticas]

Pasa a través de [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas],

Sustituyendo obtenemos [matemáticas] F = 0 [/ matemáticas]

[matemática] y [/ matemática] la intersección es [matemática] a. [/ matemática]

El círculo pasa por [matemáticas] (0, a) [/ matemáticas]

Sustituyendo obtenemos

[matemáticas] a ^ 2 + aE = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] a = -E [/ matemáticas]

[matemática] x [/ matemática] la intersección es [matemática] b. [/ matemática]

El círculo pasa por [matemáticas] (b, 0) [/ matemáticas]

Sustituyendo obtenemos

[matemática] b ^ 2 + bD = 0 [/ matemática] o [matemática] b = -D. [/ matemática]

La ecuación se convierte

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-bx-ay = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (xb) + y (ya) = 0 [/ matemáticas]

Supongamos que las intersecciones realizadas por el círculo en el eje xy el eje y son “a” y “b” respectivamente.

Ya que el círculo pasa por el origen.

. •. punto medio de intersección en el eje x = a / 2

Y, —————————— eje y = b / 2.

Ahora, perpendicular desde el punto medio de la intersección pasa a través del origen.

Por lo tanto, ambos perpendiculares se cruzan en el centro del círculo.

Centro = (a / 2, b / 2).

Y, el radio es la distancia del centro del círculo desde el origen, es decir

Radio = √ [(a / 2) ² + (b / 2) ²].

Por lo tanto, la ecuación del círculo sea …

(xa / 2) ² + (yb / 2) ² = (a / 2) ² + (b / 2) ².

Para un círculo cuyos puntos finales de un diámetro es [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática]

La ecuación del círculo es [matemáticas] (x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0 [/ matemáticas]

Ahora, dado que el círculo pasa por [matemáticas] A (a [/ matemáticas] [matemáticas], 0) [/ matemáticas]; [matemática] B [/ matemática] [matemática] (0, b) [/ matemática] y [matemática] O [/ matemática] [matemática] (0,0) [/ matemática]

Entonces [math] AB [/ math] es el diámetro ya que el ángulo [math] AOB [/ math] es de 90 grados.

La respuesta será

[matemáticas] x (xa) + y (yb) = 0 [/ matemáticas]

¡¡¡Viola!!!


–Prueba–

Tome un punto variable [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] en el círculo (podemos tomar (h, k) y luego sustituir (x, y))

Ahora, si los puntos forman un diámetro, el ángulo formado será de 90 grados.

cuando 2 líneas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es [matemática] -1 [/ matemática]

Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {y-y_1} {x-x_1} * \ dfrac {y-y_2} {x-x_2} = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (y-y_1) (y-y_2) = – (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0 [/ matemáticas]


¡Espero eso ayude!

Simplemente estoy elaborando las respuestas dadas por Vijay Prajapati y Devansh Sehta.

Supongamos que la intersección X está en A [matemáticas] = (a, 0) [/ matemáticas], y la intersección Y B [matemáticas] = (0, b) [/ matemáticas]. Entonces, el círculo requerido es el círculo del triángulo ABO donde O [matemática] = (0,0) [/ matemática], el origen. En la figura anterior, he elegido a = 6 yb = 4 por conveniencia.

Encontremos el circuncentro de este círculo. Se encuentra en el punto donde se encuentran las bisectrices perpendiculares de los lados. Podemos tomar dos, entonces elegimos los lados OA y OB.

  • La bisectriz perpendicular de OA tiene la ecuación [matemáticas] x = \ frac {a} {2} [/ matemáticas].
  • La bisectriz perpendicular de OB tiene la ecuación [math] y = \ frac {b} {2} [/ math].

Deje que estas líneas se crucen en C. Luego C [matemáticas] = (\ frac {a} {2}, \ frac {b} {2}) [/ matemáticas].

El radio del círculo no es más que la longitud del segmento de línea OC, que, desde el simple teorema de Pitágoras, es [matemática] \ frac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {2} [/ matemática].

Entonces, la ecuación del círculo es:

[matemática] (x – \ text {}) ^ 2 + (y- \ text {}) ^ 2 = \ text {radio} ^ 2. [/ math]

O,

[matemáticas] (x – \ frac {a} {2}) ^ 2 + (y – \ frac {b} {2}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {4}. [/ matemáticas]

Expandiendo y reordenando términos, obtenemos la ecuación para el círculo como

[matemáticas] x (xa) + y (yb) = 0 [/ matemáticas], que es precisamente la respuesta dada por Devansh.

Deje que la ecuación sea (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, ya que el círculo pasa por el origen, entonces h ^ 2 + k ^ 2 = r ^ 2 ahora podemos asignar cualquier valor a h y k y encontrar r decir 1 ^ 2 + 1 ^ 2 = 2, entonces r = sqrt 2 y así sucesivamente.

Se encuentra que no hay una solución definitiva del problema, sino un conjunto infinito de círculo posible para satisfacer la condición dada.

Ecuación de círculo con puntos finales de diámetro

[matemática] ⇒ \ en caja {(x − x_1) (x − x_2) + (y − y_1) (y − y_2) = 0} [/ matemática]

Prueba:

Deje que [matemática] A (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] B (x_2, y_2) [/ matemática] sean los puntos finales del diámetro del círculo como se muestra en el diagrama.

Deje que [matemática] P (x, y) [/ matemática] sea cualquier punto del círculo. Conecta los puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] con el punto [matemática] P [/ matemática] y forma un ángulo [matemática] 90∘ [/ matemática] entre ellos, (axioma popular : El ángulo en un semicírculo es un ángulo recto).

Primero, encontremos las pendientes de las líneas [math] PA [/ math] y [math] PB [/ math] como:

Pendiente de la línea [matemática] m_1 = PA = \ dfrac {y − y_1} {x − x_1} [/ matemática]

Pendiente de la línea [matemática] m_2 = PB = \ dfrac {y − y_2} {x − x_2} [/ matemática]

Como [math] ∠APB = 90∘ [/ math], entonces las líneas [math] PA [/ math] y [math] PB [/ math] son ​​perpendiculares entre sí, por lo tanto, el producto de sus pendientes es [math ] m_1 × m_2 = −1 [/ matemática].

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {y − y_1} {x − x_1} × \ dfrac {y − y_2} {x − x_2} = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] (y − y_1) (y − y_2) = – (x − x_1) (x − x_2) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemática] ⇒ \ en caja {(x − x_1) (x − x_2) + (y − y_1) (y − y_2) = 0} [/ matemática] es la ecuación requerida del círculo con los puntos finales dados (conocidos) de diametro.