¿Cuáles son las soluciones para la ecuación [matemáticas] x ^ 4-8x ^ 2-6x + 9 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenemos

[matemáticas] x ^ 4 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] c = – 8, d = – 6, e = 9 [/ matemáticas]

La ecuación auxiliar es

[matemática] z ^ 3 – cz ^ 2 – 4ez + 4ec – d ^ 2 = 0 [/ matemática]

que tiene raices

[matemáticas] z_1 = 6.20756485 [/ matemáticas]

[matemáticas] z_2 = – 7.10378243 – 1.31554378i [/ matemáticas]

[matemáticas] z_3 = – 7.10378243 + 1.31554378i [/ matemáticas]

Calculamos lo siguiente

[matemáticas] R = \ sqrt {\ frac {d ^ 2} {4e} – c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ omega_n = \ sqrt {\ frac {1} {2} + \ sqrt {\ frac {1} {4} – \ frac {e} {z_n ^ 2}}} [/ math]

[matemáticas] \ sin \ omega_n = \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ sqrt {\ frac {1} {4} – \ frac {e} {z_n ^ 2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {para n = 1, 2, 3} [/ matemáticas]

Entonces las soluciones de [matemáticas] f [/ matemáticas] están dadas por relaciones

[matemáticas] x_1 = + 2R \ sin \ omega_1 \ sin \ omega_2 \ sin \ omega_3 = 0.76929235 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = + 2R \ sin \ omega_1 \ cos \ omega_2 \ cos \ omega_3 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = – 2R \ cos \ omega_1 \ sin \ omega_2 \ cos \ omega_3 = – 1.88461771 + 0.58974281i [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = – 2R \ cos \ omega_1 \ cos \ omega_2 \ sin \ omega_3 = – 1.88461771 – 0.58974281i [/ matemáticas]

Si [math] d [/ math] fuera positivo, tendríamos que revertir los signos de las raíces de [math] f [/ math].

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La solución se interpreta en la siguiente figura

Podemos ver en esto los parámetros [matemática] R = 3 [/ matemática] y [matemática] \ omega_1 = 37.57 ^ \ circ [/ matemática] calculados anteriormente, así como un tercer parámetro:

[matemáticas] a_1 = \ sqrt {z_1 + R ^ 2} [/ matemáticas]

que definen el sistema azul.

Hay un total de tres sistemas, cada uno de los cuales está definido por los parámetros [math] (R, a_n, \ omega_n) [/ math]. Dos de estos no se ven en este modelo porque los parámetros [matemática] a_n [/ matemática] y [matemática] \ omega_n [/ matemática] tienen valores complejos para [matemática] n = 2, 3 [/ matemática] pero contribuir a la solución de [matemáticas] f [/ matemáticas].

Encontrarás un ejemplo más completo aquí:

¿Cómo factoriza [matemáticas] x ^ 4 -x ^ 3 -7x ^ 2 + x +6 [/ matemáticas]?

Answer 2

Hay una forma cerrada para las cuatro soluciones de una ecuación cuártica, pero nadie la usa realmente. En cambio, usemos algunos trucos.

Hay un teorema que establece lo siguiente:

Considere un polinomio con coeficientes enteros

[matemáticas] P (x) = \ sum ^ {n} _ {k = 0} a_ {k} x ^ {k}. [/ matemáticas]

Si el polinomio tiene raíces racionales, deben tener la forma [math] \ pm \ frac {b_0} {b_n} [/ math] donde [math] b_0 [/ math] y [math] b_n [/ math] son ​​enteros que divide [math] a_0 [/ math] y [math] a_n [/ math] de forma rezpectiva

En este caso, [matemática] a_0 = 9 [/ matemática] y [matemática] a_4 = 1 [/ matemática], por lo que los casos que debemos verificar son [matemática] b_4 = 1 [/ matemática] y [matemática] b_0 = 1,3,9 [/ matemáticas].

Verificando las seis combinaciones, obtenemos

[matemáticas] P (1) = – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] P (-1) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] P (3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] P (-3) = 36 [/ matemáticas]

[matemáticas] P (9) = 6561-648-54 + 9> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] P (-9) = 6561-648 + 54 + 9> 0 [/ matemáticas]

Esto significa que la ecuación tiene una raíz racional, x = 3.

Ahora calculemos [matemáticas] \ frac {x ^ 4-8x ^ 2-6x + 9} {x-3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4-8x ^ 2-6x + 9 = x ^ 3 (x-3) + 3x ^ 3-8x ^ 2-6x + 9 = (x ^ 3 + 3x ^ 2) (x-3) + 9x ^ 2-8x ^ 2-6x + 9 = (x ^ 3 + 3x ^ 2 + x) (x-3) + 3x-6x + 9 = (x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3) ( x-3) [/ matemáticas]

Ahora necesitamos verificar si 3 también es una raíz de la ecuación cúbica [matemáticas] x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3 = 0 [/ matemáticas]. No lo es, así que necesitamos encontrar otro método para resolver la ecuación cúbica. Tenga en cuenta que las tres raíces no son números racionales reales.

Verifiquemos si las tres raíces son reales o si dos de ellas son complejas. Para hacer esto necesitamos calcular

[matemática] \ Delta = 18abcd-4b ^ 3d + b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-27a ^ 2d ^ 2 = -162 + 324 + 9-4-243 <0 [/ matemática]

Como [math] \ Delta <0 [/ math] hay una raíz real y dos raíces conjugadas complejas. Escribamos las raíces complejas como x + iy y luego la ecuación cúbica es

[matemáticas] x ^ 3-3xy ^ 2 + 3x ^ 2-3y ^ 2 + x-3 + i (3x ^ 2y-y ^ 3 + 6xy + y) = 0 [/ matemáticas]

Dado que tanto x como y son reales, tenemos dos ecuaciones. Resolviendo la segunda ecuación para y produce, además de y = 0,

[matemáticas] y = \ pm \ sqrt {3x ^ 2 + 6x + 1} [/ matemáticas]

El uso de este resultado en la primera ecuación produce

[matemática] x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3-3 (1 + x) (3x ^ 2 + 6x + 1) = – 8x ^ 3-24x ^ 2-20x-6 = 0 [/ matemática]

Reorganizando obtenemos

[matemáticas] 4x ^ 3 + 12x ^ 2 + 10x + 3 = 0 [/ matemáticas]

Ahora revisemos nuevamente las raíces racionales, pero no las hay.

Francamente, además de usar la expresión fea para las raíces de una ecuación cúbica o resolverla numéricamente, no se me ocurre nada.

Answer 3

Por el teorema del cero racional (r00t) , [math] \ pm 1, \ pm 3, \ pm 9 [/ math] son ​​posibles factores.

[matemáticas] f (x) = x ^ 4–8x ^ 2–6x + 9 [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] x = 3, f (3) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] (x-3) [/ math] es un factor a través del teorema del resto .

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[matemáticas] x ^ 4–8x ^ 2–6x + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 4–3x ^ 3 + 3x ^ 3–9x ^ 2 + x ^ 2–6x + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 3 (x-3) + 3x ^ 2 (x-3) + (x-3) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x-3) (x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3) = 0 [/ matemáticas]

No creo que el otro tenga buenos factores. Así que intentaré esto

[matemáticas] g (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (0) = – 3, g (1) = 2 [/ matemáticas]

Hay una raíz real en [matemática] (0,1) [/ matemática] por el teorema del valor intermedio y se puede encontrar mediante el método de bisección o la técnica de iteración de Newton-Raphson .

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La regla de signos de Descarte

[matemáticas] g (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + x-3 [/ matemáticas]

[matemática] 1 [/ matemática] cambio de signo [matemática] \ implica 1 [/ matemática] posible raíz real positiva, [matemática] 2 [/ matemática] negativos o complejos

[matemáticas] g (-x) = – x ^ 3 + 3x ^ 2-x-3 [/ matemáticas]

[matemática] 2 [/ matemática] el signo cambia [matemática] \ implica 2 [/ matemática] posible negativo, [matemática] 1 [/ matemática] raíz real positiva

No es realmente la mejor declaración concluyente que esperaba de ella.

WolframAlpha nos dice que las otras raíces son complejas.

Answer 4

Sea f (x) = x ^ 4–8x² — 6x + 9

f (3) = 0 → (x-3) es un factor de f (x)

f (x) = (x — 3) (x³… + 3x² …… + x ……… —3), factorizando mediante coeficientes de inspección,

Para g (x) = x³ + 3x² + x — 3.

f (0) = – 3

f (1) = 1

Hay un cambio de signo, un cero se encuentra entre 0 y 1,

f (0.8) = 0.512 + 1.92 + 0.8—3 = 3.232–3 = —0.232

f (0.7) = 0.343 + 1.47 + 0.7–3 = 2.513–3 = —0.487

Esta es una buena primera aproximación para la iteración de Newton x = 0.8 ++