¿Por qué se pueden resolver algunos sistemas físicos con ecuaciones lineales?

Creo que realmente estás haciendo dos preguntas separadas:

  1. ¿Por qué las ecuaciones son lineales?
  2. ¿Por qué hay N de ellos, exactamente el número que necesita para encontrar una solución sensata?

Michael ha proporcionado una buena respuesta a (1)

En cuanto a (2), olvide las ecuaciones por un momento y piense en el hecho de que estamos hablando de un sistema físico, por ejemplo, un circuito eléctrico que se puede medir en términos de corriente, voltaje, etc. Algo tiene que suceder: los electrones fluirán, las resistencias se calentarán, etc. Las ecuaciones tienen que reflejar lo que sucede en el mundo real, de lo contrario están equivocadas. Entonces las ecuaciones deben dar una respuesta sensata que refleje la realidad física. Si no lo hacen, entonces no hemos formulado la pregunta correctamente y tenemos que regresar y hacerlo correctamente.

Por lo tanto, cualquier teoría física útil producirá respuestas que se puedan comparar con la realidad. Eso es más o menos lo que es una teoría física.

Porque en muchas leyes físicas existe un “principio de superposición”.

Esto significa: si la presencia de A causa la presencia de X, y la presencia de B causa Y, entonces la presencia de A y B causa X e Y. Y si A es dos veces más fuerte, entonces X es dos veces más fuerte.

Por ejemplo: una carga eléctrica A llenará el espacio con un potencial eléctrico X. Una carga eléctrica B llenará el espacio con un potencial eléctrico Y. Si A y B están presentes, entonces sus potenciales simplemente se resumen en cada punto del espacio.

Eso es exactamente lo que hace una multiplicación matricial Ax = y (A, x, y elegida arbitrariamente y no relacionada con las anteriores A, B, X, Y): cada columna n en A indica qué entrada de efecto n en la entrada / “causa” vector x tendrá en el resultado el vector y.

Entonces, por ejemplo, las entradas de x indican el número de electrones en algunos puntos del espacio, e y es el potencial eléctrico en algunos puntos del espacio. Luego, las columnas de A indicarán cómo los electrones en cada uno de los puntos forman un potencial eléctrico en cada uno de los puntos. Luego, realizando la multiplicación de matriz-vector Ax = y calculará el potencial total en cada punto.

Cuando tales técnicas se utilizan con fines prácticos, se puede elegir arbitrariamente los conjuntos de puntos utilizados por x e y, generando así una matriz de forma arbitraria. El álgebra lineal le dirá cómo elegir los puntos sabiamente y cómo invertir el sistema. (Por ejemplo, si realmente puede medir el potencial eléctrico y, y desea adivinar la distribución de electrones x).

Los principios no pueden romperse, uno solo puede romperse contra ellos.

Los principios son el Ser intemporal, infinito e inmutable que aparece en nuestro malentendido social e material separado e identificable de la Realidad.

Apuntan a nuestro ser más grande (o disuelto), y al hecho de que estamos viviendo en tal Realidad, que está incluso más allá de estas señales.

Gran parte de la ciencia persigue estos principios, al igual que los marcos religiosos.

Estás hablando simplemente de un pequeño principio de trivia de conocimiento indicativo aquí, que consideramos uno de los muchos detalles y hemos establecido sobre catalogación y exploración, de forma recursiva. En este punto, tenemos una gran acumulación de metaconocimiento sobre el conocimiento. Wheeee! Esta catalogación es una comprensión inmadura de la realidad, pero es posible que conduzca más profundamente.

Vea debajo de este principio, en la naturaleza más amplia de los principios, y comenzará a ver su Ser más grande y, posiblemente, cómo disolver este malentendido a través de la alineación con los principios en sus implicaciones secundarias y terciarias (y en infinitas).

Esa es solo la Primera Ley de Barton: en primer orden, todo es lineal. En caso de que se lo pregunte, la segunda ley de Barton es que, en segundo orden, todo es cuadrático. (Y la Ley Zeroth de Barton es que al orden cero todo es constante.) Por supuesto que no soy tan inteligente, solo estoy canalizando el teorema de Taylor.

Lo que me sorprende de esta pregunta es la conservación. Los circuitos son sistemas cerrados, por lo que puede tener circuitos muy complicados, pero la entrada de corriente es igual a la salida de corriente a la fuente de voltaje. Esto le permite resolver, mientras que un circuito con fugas cortas desconocidas a tierra, no podría. Del mismo modo, un sistema mecánico, como la suspensión de un automóvil, recibe entradas, pero la energía igual se almacena y luego se disipa en el sistema. La conservación es la esencia del álgebra, conservando el equilibrio entre los lados izquierdo y derecho del signo igual.