Se dibuja un círculo con su centro en la línea x + y = 2 para tocar la línea 4x-3y + 4 = 0 y pasar por el punto (0,1). Encuentra su ecuación?

Answer 1

deje que el centro del círculo sea [matemática] (a, b) [/ matemática] y radio [matemática] r [/ matemática] luego el centro [matemática] (a, b) [/ matemática] satisfará la ecuación de línea: [ matemáticas] x + y = 2 \ implica a + b = 2 \ quad b = 2-a \ etiqueta 1 [/ matemáticas]

dado que el círculo toca la línea: [matemática] 4x-3y + 4 = 0 [/ matemática], por lo tanto, la distancia perpendicular del centro desde la línea será igual al radio del círculo.

[matemática] \ frac {| 4a-3b + 4 |} {\ sqrt {4 ^ 2 + (- 3) ^ 2}} = r [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {| 4a-3 (2-a) |} {5} = r \ implica | 7a-2 | = 5r \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

Nuevamente, la distancia del centro [matemática] (a, b) [/ matemática] desde el punto [matemática] (0, 1) [/ matemática] será igual al radio del círculo por lo tanto

[matemáticas] \ sqrt {(a-0) ^ 2 + (b-1) ^ 2} = r \ implica \ sqrt {a ^ 2 + (2-a-1) ^ 2} = r [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + 1 + a ^ 2-2a = r ^ 2 \ implica 2a ^ 2-2a + 1 = r ^ 2 [/ matemáticas]

establecer el valor de r desde (2),

[matemáticas] 2a ^ 2-2a + 1 = \ left (\ frac {| 7a-2 |} {5} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] a ^ 2-22a + 21 = 0 \ implica a = 1, 21 [/ matemáticas]

por lo tanto, si [matemáticas] a = 1 \ implica b = 2-a = 2-1 = 1, r = 1 [/ matemáticas] &

si [matemáticas] a = 21 \ implica b = 2-a = 2-21 = -19, r = 29 [/ matemáticas]

por lo tanto, las ecuaciones de círculo son: [matemáticas] \ color {rojo} {(x-1) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 ^ 2 = 1} [/ matemáticas]

o [matemáticas] \ color {rojo} {(x-21) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = 29 ^ 2 = 841} [/ matemáticas]

Answer 2

El truco para responder esta pregunta es descubrir que el centro del círculo es equidistante de la línea: [matemáticas] 4x-3y + 4 = 0 [/ matemáticas] y el punto: [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas].

Deje que el centro sea [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas]. Entonces, simplemente escribimos la ecuación a partir de esto, usando la fórmula de distancia y la fórmula para la distancia entre un punto y una línea (DBPAL),

[matemáticas] \ sqrt {(h ^ 2 + (k-1) ^ 2} = \ dfrac {| 4h-3k + 4 |} {\ sqrt {4 ^ 2 + (- 3) ^ 2}} [/ matemáticas ]

Además, se nos da que el centro se encuentra en la línea: x [matemáticas] + y = 2 [/ matemáticas].

Entonces, [math] h + k = 2 \ Rightarrow k = 2-h [/ math].

Al sustituir esto y otras sustituciones, obtenemos

[matemáticas] 5 \ sqrt {2h ^ 2-2h + 1} = \ pm | 7h-2 | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto h ^ 2-22h + 21 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto (h-1) (h-21) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto h = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] h = 21 [/ matemáticas].

Como [math] k = 2-h [/ math],

tenemos los dos puntos posibles donde debe estar el centro del círculo requerido:

{[matemáticas] (1,1), (21, -19) [/ matemáticas]}

Answer 3