Encuentre la ecuación de un círculo que circunscribe el triángulo cuyos lados son [matemática] x + y = 6 [/ matemática], [matemática] 2x + y = 4 [/ matemática] y [matemática] x + 2y = 5 [/ matemática] ?

Answer 1

Lo que siento más fácil es …

• [matemáticas] (x + y-6) = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (2x + y-4) = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (x + 2y-5) = 0 [/ matemáticas]

Ahora define →

[matemáticas] (x + y-6) (2x + y-4) + a (2x + y-4) (x + 2y-5) + b (x + 2y-5) (x + y-6) = 0 [/ matemáticas]

¡Esta ecuación pasará por todos los puntos de intersección de estas líneas!

(se puede ver fácilmente, ya que cualquier punto de intersección formará 2 líneas = 0, lo que a su vez hará que nuestra curva = 0)

La parte más aburrida es que necesitas expandirlo (expandir todo no es necesario, ¡pero aún así lo mostraré para aclararlo!)

[matemáticas] (x + y-6) (2x + y-4) + a (2x + y-4) (x + 2y-5) + b (x + 2y-5) (x + y-6) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2x ^ 2 + y ^ 2 + 3xy-16x-10y + 24) + a (2x ^ 2 + 5xy-14x + 2y ^ 2-13y + 20) + b (-11x + 3xy + x ^ 2 + 2y ^ 2-17y + 30) = 0 [/ matemáticas]

Promover, adicional,

[matemáticas] (2 + 2a + b) x ^ 2 + (1 + 2a + 2b) y ^ 2 + (3 + 5a + 3b) xy- (16 + 14a + 11b) x- (10 + 13a + 17b) y + (24 + 20a + 30b) = 0 [/ matemáticas]

Si esto representa la ecuación de un círculo, los coeficientes de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] y ^ 2 [/ matemática] deben ser iguales,

y el coeficiente de [matemática] xy [/ matemática] debe ser [matemática] 0 [/ matemática]

• [matemáticas] (2 + 2a + b) = (1 + 2a + 2b) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]

• [matemáticas] (3 + 5a + 3 (1)) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] a = -1.2 [/ matemáticas]

Entonces la ecuación de círculo es …

[matemática] (x + y-6) (2x + y-4) -1.2 (2x + y-4) (x + 2y-5) + (x + 2y-5) (x + y-6) = 0 [/matemáticas]

[matemática] \ Grande \ en caja {5 (x + y-6) (2x + y-4) -6 (2x + y-4) (x + 2y-5) +5 (x + 2y-5) (x + y-6) = 0} [/ matemáticas]

---

¡Ahora hazlo en general!

• [matemáticas] (m_1x-y + c_1) = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (m_2x-y + c_2) = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (m_3x-y + c_3) = 0 [/ matemáticas]

La ecuación será

[matemática] \ Grande \ en caja {\ Delta_1 (m_1x-y + c_1) (m_2x-y + c_2) + \ Delta_2 (m_2x-y + c_2) (m_3x-y + c_3) + \ Delta_3 (m_3x-y + c_3 ) (m_1x-y + c_1) = 0} [/ matemática]

Dónde,

[matemáticas] \ Delta_1 = (1-m_2m_3) (m_1 + m_3) – (1-m_1m_3) (m_2 + m_3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta_2 = (m_1m_2-1) (m_1 + m_3) + (1-m_1m_3) (m_1 + m_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta_3 = – (1-m_2m_3) (m_1 + m_2) + (m_1m_2-1) (m_2 + m_3) [/ matemáticas]

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¿Quieres jugar? Ir a circunferencia

¡BUENA SUERTE!

Answer 2

Hay varias formas de encontrar esa ecuación de circunferencia circular:

Primero, introduzcamos las longitudes de los triángulos [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math]:

• [matemáticas] a = \ sqrt {\ overrightarrow {AB}. \ overrightarrow {AB}} [/ math] donde [math] \ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {B} – \ overrightarrow {A} [/ math]
• b [matemática] = \ sqrt {\ overrightarrow {BC}. \ overrightarrow {BC}} [/ math] donde [math] \ overrightarrow {BC} = \ overrightarrow {C} – \ overrightarrow {B} [/ math]
• c [math] = \ sqrt {\ overrightarrow {CA}. \ overrightarrow {CA}} [/ math] donde [math] \ overrightarrow {A} = \ overrightarrow {A} – \ overrightarrow {C} [/ math]

1) La primera solución donde su caso es muy particular, de hecho:

en su caso encontramos A = (-2,8), B = (7, -1), C = (1,2). Lo que significa que:

[matemáticas] a = 9. \ sqrt {2}, b = c = 3. \ sqrt {5} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el triángulo [matemáticas] ABC [/ matemáticas] es isósceles, se deduce de allí:

• [matemática] cos (\ alpha) = \ frac {BC} {2.R} [/ matemática] = [matemática] \ frac {b} {2.R} [/ matemática] en el triángulo [matemática] CBD [/ matemáticas]
• [matemática] sin (\ alpha) = [/ matemática] [matemática] \ frac {FB} {BC} = \ frac {a} {2.b} [/ matemática]

Por lo tanto, se obtiene que: [matemáticas] R = \ frac {b ^ 2} {\ sqrt {4.b ^ 2-a ^ 2}} = \ frac {15} {\ sqrt {2}} = 10.61 [/ matemáticas ]

Ahora queda calcular las coordenadas de E:

De acuerdo con el teorema de Pitágoras int el triángulo [matemáticas] DFB [/ matemáticas]:

[matemáticas] FD = \ sqrt {R ^ 2-FB ^ 2} = \ sqrt {R ^ 2- \ frac {a ^ 2} {4}} = 6. \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Además, dado que el alcance de la línea [matemáticas] (AB) [/ matemáticas] es (-1), entonces el ángel [matemáticas] \ beta = \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemática] IF = ID = frac {FD} {\ sqrt (2)} = 6 [/ matemática]

Finalmente: [math] \ overrightarrow {OD} = \ overrightarrow {OD} + \ overrightarrow {FD} [/ math]

[matemáticas] \ overrightarrow {OD} = \ frac {\ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {OB}} {2} = \ begin {pmatrix} \ frac {5} {2} \\ \ frac {7} {2 } \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces: [matemáticas] \ overrightarrow {OD} = \ begin {pmatrix} \ frac {17} {2} \\ \ frac {19} {2} \ end {pmatrix} [/ math]

La ecuación del círculo:

[matemáticas] (x- \ frac {17} {2}) ^ 2+ (y- \ frac {19} {2}) ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {15 ^ 2} {2} [/matemáticas]

2) El método anterior es muy particular, pero ¿qué pasa con los casos generales en los que A, B y C están donde sea? Existen varios métodos:

A) Las coordenadas [matemáticas] circuncentro [/ matemáticas] (x_e, y_e) cumplen tres ecuaciones debido a [matemáticas] AE = AB = AC = R [/ matemáticas]

Lo que significa que tenemos un sistema de ecuaciones no lineales:

• [matemáticas] (x_e-x_A) ^ 2 + (y_e-y_A) ^ 2 = (x_e-x_B) ^ 2 + (y_e-y_B) ^ 2 [/ matemáticas]
• [matemáticas] (x_e-x_A) ^ 2 + (y_e-y_A) ^ 2 = (x_e-x_C) ^ 2 + (y_e-y_C) ^ 2 [/ matemáticas]

Después de desarrollar ese sistema, produce que:

[matemáticas] x_e. (x_B-x_A) + y_e. (y_B-y_A) = \ frac {(x_B ^ 2-x_A ^ 2) + (y_B ^ 2-y_A ^ 2)} {2} [/ matemática]

[matemáticas] x_e. (x_C-x_A) + y_e. (y_C-y_A) = \ frac {(x_C ^ 2-x_A ^ 2) + (y_C ^ 2-y_A ^ 2)} {2} [/ matemática]

Es un sistema lineal que se puede resolver fácilmente, para encontrar [math] x_e [/ math] y [math] y_e [/ math]

B) En este método podemos evitar resolver cualquier sistema lineal o no lineal:

Está claro que :

[matemática] \ overrightarrow {AD} = \ overrightarrow {AF} + \ overrightarrow {FD} [/ math]

donde [matemáticas] F [/ matemáticas] representa el punto medio [matemáticas] [/ matemáticas] de [matemáticas] AB: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ overrightarrow {AF} = \ frac {\ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {OB}} {2} [/ math]

Queda por calcular [math] \ overrightarrow {FD} [/ math]

[matemáticas] \ overrightarrow {FD} = FD. \ overrightarrow {\ omega} [/ math]

donde [math] \ overrightarrow {\ omega} [/ math] es un vector unitario

• A) Cálculo de [matemáticas] FD [/ matemáticas]:

• [matemáticas] FD = \ sqrt {R ^ 2- \ frac {a ^ 2} {4}} [/ matemáticas] donde:
• [matemáticas] R = \ frac {abc} {\ sqrt {p (p-2.a) (p-2.b) (p-2.c)}} [/ matemáticas] donde [matemáticas] p = a + b + c [/ matemáticas]

B) Cálculo de [matemáticas] \ overrightarrow {\ omega}: [/ matemáticas]

• Vamos a introducir este vector unitario [math] \ overrightarrow {v} = \ frac {\ overrightarrow {AB}} {a}, [/ math] sus coordenadas se denotan [math] \ begin {pmatrix} v_x \\ v_y \ end { pmatrix} [/ math]
• Entonces la unidad normal vencedora de [math] \ overrightarrow {v} [/ math] es:

• [matemáticas] \ overrightarrow {\ omega} = \ begin {pmatrix} -v_y \\ v_x \ end {pmatrix} [/ math] si E se encuentra dentro del triángulo
• De lo contrario, [math] \ overrightarrow {\ omega} = \ begin {pmatrix} v_y \\ -v_x \ end {pmatrix} [/ math] si E se encuentra fuera del triángulo. y este es tu caso

C) Hay otra solución muy simple pero no puedo escribir en este momento.

Answer 3

Encuentre los puntos de intersección (-2,8), (7, -1) y (1,2) luego resuelva

[matemáticas] (x + 2) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (x-7) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 [/matemáticas]

para el centro (todos los términos cuadráticos desaparecen; son solo dos ecuaciones lineales independientes para igualar las expresiones de radio cuadrado).

Answer 4

Al resolver tres pares de ecuaciones, encontramos que los vértices del triángulo son [matemática] (- 2,8), (7, -1) [/ matemática] y [matemática] (1,2) [/ matemática]. Entonces, el centro del círculo es [matemática] \ bigg (\ dfrac {-2 + 7 + 1} {3}, \ dfrac {8-1 + 2} {3} \ bigg) = (2,3). [ / math] La distancia de [math] (2,3) [/ math] a [math] (1,2) [/ math] es [math] \ sqrt {2} [/ math], entonces la ecuación es [ matemáticas] (x-2) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 2. [/ matemáticas]

Answer 5

Puede encontrar la ecuación de circunferencia circular como [matemática] L_1L_2 + \ mu L_2L_3 + \ lambda L_3L_1 = 0; [/ matemática]

donde [math] \ lambda [/ math] y [math] \ mu [/ math] son ​​parámetros y [math] L_1, L_2, L_3 [/ math] son ​​ecuaciones de las líneas.

ahora puedes resolver la ecuación de círculo como coeff. de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] = coeff. de [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas] y coeff. de [matemáticas] xy [/ matemáticas] = [matemáticas] 0; [/ matemáticas] y finalmente obtener la ecuación del círculo circunferencial.

Answer 6

Answer 7

Puede que esta no sea la respuesta real, pero no hay x e y que satisfagan estas 3 ecuaciones.

[math] x + y = 6 \ Rightarrow y = 6-x \ text {(usaremos esto ahora).} [/ math]

[matemáticas] 2x + y = x + 6 = 4 \ Flecha derecha x = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 2y = 12-x = 5 \ Flecha derecha x = 7 [/ matemáticas]