¿Qué números [matemática] x, y [/ matemática] satisfacen tanto [matemática] x ^ 2 + x = y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y [/ matemática] y [matemática] x ^ 4 + (x +1) ^ 4 = y ^ 2 + (y + 1) ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Factoriza ambos lados de la primera ecuación para obtener

[matemáticas] \ displaystyle x (x + 1) = y (y + 1) (y ^ 2 + 1). \ tag {Eq. 1} [/ matemáticas]

Expande ambos lados de la segunda ecuación, simplifica y factoriza para obtener

[matemáticas] \ displaystyle x (x + 1) (x ^ 2 + x + 2) = y (y + 1). \ tag {Eq. 2} [/ matemáticas]

Como [math] (y ^ 2 + 1) [/ math] nunca puede ser cero, uno puede resolver (Eq. 1) para [math] y (y + 1) [/ math] y sustituir el resultado en (Eq. 2) para obtener

[matemáticas] \ displaystyle x (x + 1) (x ^ 2 + x + 2) = \ frac {x (x + 1)} {y ^ 2 + 1}, [/ matemáticas]

o, multiplicando ambos lados por [matemática] y ^ 2 + 1 [/ matemática] y reescribiendo, se puede llevar al formulario

[matemática] \ displaystyle x (x + 1) \ izquierda [(y ^ 2 + 1) (x ^ 2 + x + 2) – 1 \ derecha] = 0. [/ matemática]

Las únicas soluciones posibles son [matemática] x = 0, [/ matemática] o [matemática] x = -1, [/ matemática] o valores de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] satisfactorio

[matemáticas] \ displaystyle (y ^ 2 + 1) (x ^ 2 + x + 2) – 1 = 0 \, \, \ implica y ^ 2 = -1 + \ frac {1} {(x + 1/2 ) ^ 2 + 7/4}, [/ matemáticas]

observando que el factor cuadrático [matemáticas] x ^ 2 + x + 2 = (x + 1/2) ^ 2 + 7/4 [/ matemáticas] representa una parábola con vértice en [matemáticas] (- 1 / 2,7 / 4), [/ math] por lo tanto, un valor mínimo de [math] 7/4, [/ math] que no tiene ceros reales (nunca intercepta el eje [math] x – [/ math]).

Se verifica fácilmente que el lado derecho de la última ecuación tiene un valor máximo de [matemática] -3/7 [/ matemática] en [matemática] x = -1/2 [/ matemática], es decir, siempre es negativa para cualquier valor de [math] x, [/ math] por lo tanto no tiene soluciones reales [math] y [/ math] para ningún valor de [math] x. [/ math] Esto deja como las únicas soluciones reales posibles [math] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = -1. [/ matemática] Sustituyendo [matemática] x = 0 [/ matemática] en cualquiera de nuestras formas factorizadas (Ec. 1) y (Ec. 2), vea que las únicas soluciones para [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -1. [/ matemáticas] De manera similar, sustituyendo [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] en las dos ecuaciones, obtenemos las mismas dos soluciones para [matemáticas] y. [/ matemáticas] Por lo tanto, hay cuatro soluciones reales: [matemáticas] (0,0), (0, -1), (-1 , 0), (-1, -1), [/ math] como se indica en varias otras respuestas por ahora. Simplemente he tratado de completar algunos detalles faltantes para mostrar que este es el conjunto completo de soluciones.

Answer 2

Al graficar estas dos ecuaciones podemos ver con bastante facilidad que hay 4 soluciones

1. x = 0, y = 0
2. x = -1, y = 0
3. x = -1, y = -1
4. x = 0, y = -1

Answer 3

[matemáticas] x ^ 2 + x = y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y [/ matemáticas]

o, [matemáticas] x ^ 2 + x = (y ^ 2 + 1) (y ^ 2 + y) ———————— [1] [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 + (x + 1) ^ 4 = y ^ 2 + (y + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 2x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x = 2y ^ 2 + 2y [/ matemáticas]

[matemáticas] o, x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x = y ^ 2 + y [/ matemáticas]

[matemáticas] o, (x ^ + x) (x ^ 2 + x + 2) = y ^ 2 + y —————————————— [2] [/ matemáticas]

Ahora coloque el [1] en [2] dos veces.

[matemáticas] (y ^ 2 + y) (y ^ 2 + 1) (y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y + 2) = y ^ 2 + y [/ matemáticas]

o, [matemáticas] (y ^ 2 + y) (y ^ 2 + 1) (y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y + 2) – (y ^ 2 + y) = 0 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] (y ^ 2 + y) (y ^ 6 + y ^ 5 + 2y ^ 4 + 2y ^ 3 + 3y ^ 2 + y + 1) = 0 ———————— [3] [/matemáticas]

a partir de esta etapa obtenemos que

[matemática] y [/ matemática] ^ 2 + [matemática] y [/ matemática] = [matemática] 0 ————————— [4] [/ matemática]

o [matemáticas] (y ^ 6 + y ^ 5 + 2y ^ 4 + 2y ^ 3 + 3y ^ 2 + y + 1) = 0 ——————— [5] [/ matemáticas]

[4] es un poco fácil pero [5] es algo desordenado.

Primero vamos con el [4]

entonces tampoco

[matemáticas] y = 0 o y = -1 [/ matemáticas]

colocar [matemática] y = 0 en [1] [/ matemática]

[matemáticas] o [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -1 en [1] [/ matemáticas]

entonces, ([matemáticas] x ^ 2 + x) = 0 [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]

Entonces, los valores posibles y finos de x, y son 0,0; 0, -1; -1,0; -1, -1

Pero debe saber que otros valores también son posibles.

Si desea otros valores, resuelva [5]

y ponen los valores en [1]

Me voy de esa causa que es gigantesca.

Espero que esto ayude.

Answer 4

* A2A

Confiando en mis instintos aquí y disparando a ciegas. Ni siquiera estoy seguro de si esta es una buena manera de resolver.

Considerando la función [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática], o [matemática] x = y ^ 2 [/ matemática]. Estas son parábolas con una simetría [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] respectivamente.

Entonces, si consideramos la ecuación [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 4 [/ matemáticas], o [matemáticas] x ^ 2 = y ^ 4 [/ matemáticas], representan un par de parábolas. Las ecuaciones dadas representan un par de parábolas.

De la primera ecuación:

[matemáticas] x ^ 2 + x = 0 \\ \ implica x (x + 1) = 0 \\ \ implica x = -1,0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y = 0 \\ \ implica y ^ 3 (y + 1) + y (y + 1) = 0 \\ \ implica (y + 1) (y ^ 3 + y) = 0 \\ \ implica y (y + 1) ^ 2 = 0 \\ \ implica y = -1, -1,0 \ tag * {} [/ math]

Haciendo una combinación:

[matemáticas] (x, y) = \ {(0,0), (0, -1), (- 1,0), (- 1, -1) \} \ tag * {} [/ matemáticas]

Esto realmente funciona porque estos pares de valores pueden satisfacer ambos lados de las ecuaciones dadas. Admito que no es la mejor manera de resolver una ecuación.

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Teorema fundamental del álgebra: un polinomio de orden [matemática] n ^ {\ text {th}} [/ matemática] tiene exactamente raíces [matemática] n [/ matemática].

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Creo que me salí con esta. Estas deberían ser las únicas soluciones, según el teorema.

Answer 5

[matemáticas] x (x + 1) = y (y + 1) (y ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Consideremos la expansión binomial de [matemáticas] \ {(x + 1) -x \} ^ 4. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ {(x + 1) -x \} ^ 4 = (x + 1) ^ 4 + x ^ 4–4 [(x + 1) ^ 3 x + x ^ 3 (x + 1)] + 6 [(x + 1) ^ 3 x ^ 3] [/ matemáticas]

[matemáticas] = y ^ 2 + (y + 1) ^ 2–4x (x + 1) [(x + 1) ^ 2 + x ^ 2] +6 [(x + 1) ^ 3 x ^ 3] [ /matemáticas]

[matemáticas] = (y + 1-y) ^ 2 + 2y (y + 1) –4x (x + 1) [(x + 1-x) ^ 2 + 2x (x + 1)] + 6 [(x +1) ^ 3 x ^ 3] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 2y (y + 1) –4x (x + 1) -8x ^ 2 (x + 1) ^ 2 + 6 x ^ 3 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

LHS = 1

[matemáticas] \ por lo tanto 2y (y + 1) -4 y (y + 1) (y ^ 2 + 1) -8y ^ 2 (y + 1) ^ 2 (y ^ 2 + 1) ^ 2 + 6 y ^ 3 (y + 1) ^ 3 (y ^ 2 + 1) ^ 3 = 0 [/ matemática]

es decir, [matemáticas] y (y + 1) \ {2-4 (y ^ 2 + 1) -8y (y + 1) (y ^ 2 + 1) ^ 2 + 6 y ^ 2 (y + 1) ^ 2 (y ^ 2 + 1) ^ 3 \} = 0 [/ matemáticas]

O y (y + 1) = 0 o la montaña [matemáticas] \ {2-4 (y ^ 2 + 1) -8y (y + 1) (y ^ 2 + 1) ^ 2 + 6 y ^ 2 (y +1) ^ 2 (y ^ 2 + 1) ^ 3 \} = 0 [/ matemáticas]

Lo más fácil es y = 0 e y = -1

y = 0 da x (x + 1) = 0 y [matemáticas] x ^ 4 + (x + 1) ^ 4 = 1 [/ matemáticas]; Tanto x = 0 como x = -1 satisfacen las 2 ecuaciones.

Por lo tanto tenemos (0,0) (- 1,0) como las soluciones.

Ahora y = -1 también produce las mismas 2 ecuaciones y (0, -1) y (-1, -1) también son soluciones.

¿Ahora quién subirá a la montaña?

Motor de conocimiento computacional

La montaña tiene 10 raíces por y.

Answer 6

[matemática] (x, y) = [/ matemática] [matemática] (0, 0) [/ matemática], [matemática] (- 1, -1) [/ matemática], [matemática] (0, -1) [/ math] y [math] (- 1, 0) [/ math]

Answer 7

Comenzaré en el paso de Mike Wilkes que dice

[matemáticas] x (x + 1) = y (y + 1) ({y ^ 2} + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] x (x + 1) ({x ^ 2} + x + 2) = y (y + 1) [/ matemáticas].

Gracias Mike, ¡nunca habría multiplicado el segundo!

Entonces, [matemáticas] xy (x + 1) (y + 1) = y (y + 1) x (x + 1) ({x ^ 2} + x + 2). [/ Matemáticas]

Moviendo cosas,

[matemáticas] y (y + 1) ({y ^ 2} + 1) x (x + 1) ({x ^ 2} + x + 2) – x (x + 1) y (y + 1) = 0 [/matemáticas].

Y factoring,

[matemática] xy (x + 1) (y + 1) \ izquierda [{({y ^ 2} + 1) ({x ^ 2} + x + 2) – 1} \ derecha] = 0 [/ matemática] .

Tratando con las cosas malas primero,

[matemáticas] ({y ^ 2} + 1) ({x ^ 2} + x + 2) – 1 = ({y ^ 2} + 1) \ left [{{{(x + \ frac {1} { 2})} ^ 2} + \ frac {7} {4}} \ right] – 1 [/ math].

Esto nunca puede ser 0 porque [matemática] y ^ 2 + 1 \ geq 1 [/ matemática] y [matemática] {(x + \ frac {1} {2}) ^ 2} + \ frac {7} {4} > 1 [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] x = 0, y = 0, x = – 1, y = – 1 [/ matemáticas].

Las soluciones como pares ordenados son [matemática] (0,0), (-1,0), (0, -1) [/ matemática] y [matemática] (- 1, -1) [/ matemática].

Answer 8

Las ecuaciones dadas son

[matemáticas] x ^ 2 + x = y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + y ……. (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 + (x + 1) ^ 4 = y ^ 2 + (y + 1) ^ 2… .. (2) [/ matemáticas]

De (1) obtenemos ..

[matemáticas] x (x + 1) = y (y + 1) (y ^ 2 + 1)…. (3) [/ matemáticas]

De (2), obtenemos …

[matemáticas] x ^ 4 + x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 = y ^ 2 + y ^ 2 + 2y + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x = y (y + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x (x + 1) (x ^ 2 + x + 2) = y (y + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x (x + 1) (x ^ 2 + x + 2) = \ frac {x (x + 1)} {y ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemática] \ Flecha derecha x (x + 1) [(y ^ 2 + 1) (x ^ 2 + x + 2) -1] = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Flecha derecha x (x + 1) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ Flecha derecha x = 0, -1 [/ matemáticas]

O

[matemáticas] (y ^ 2 + 1) (x ^ 2 + x + 2) -1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow y ^ 2 + 1 = \ frac {1} {x ^ 2 + x + 2} …… (4) [/ matemáticas]

Ahora, si ponemos el valor de x = 0, -1 en (4), obtenemos la solución compleja.

Entonces, desde (3) poner el valor de x = 0, -1 y obtenemos …

y = 0, -1 solo raíz real. Por lo tanto, las soluciones requeridas son (0,0), (0–1), (- 1,0), (- 1, -1).

Answer 9

Answer 10

(X, y) = (0,0), (- 1, -1)