Observe que [matemáticas] z = 0 [/ matemáticas] satisface la ecuación dada.
Suponga que [math] z \ ne 0 [/ math], y escriba [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math], con [math] 0 \ le \ theta <2 \ pi [/ math]. Entonces [math] z ^ 3 + | z | = 0 [/ math] se traduce a [math] r ^ 3e ^ {3i \ theta} + r = 0 [/ math], y desde [math] r \ ne 0 [ / math], a [math] r ^ 2e ^ {3i \ theta} = – 1 [/ math].
Tomando el módulo de ambos lados, obtenemos [matemáticas] r = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {3i \ theta} = – 1 = e ^ {i \ pi} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] \ theta = \ frac {(2n + 1) \ pi} {3} [ / math], [math] n \ in \ {0,1,2 \} [/ math]. Por lo tanto
[matemáticas] z = e ^ {i \ pi / 3} = \ dfrac {1 + i \ sqrt {3}} {2}, e ^ {i \ pi} = -1, [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {i5 \ pi / 3} = \ dfrac {1-i \ sqrt {3}} {2}, [/ matemáticas]
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o más brevemente como
[matemáticas] z = \ dfrac {1 \ pm i \ sqrt {3}} {2}, -1 [/ matemáticas].
Se puede verificar que cada uno de estos valores de z, junto con [matemática] z = 0 [/ matemática], satisfaga la ecuación [matemática] z ^ 3 + | z | = 0 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]