Cómo resolver esta ecuación en un sistema de números complejos [matemática] z ^ 3 + | z | = 0 [/ matemática]

Observe que [matemáticas] z = 0 [/ matemáticas] satisface la ecuación dada.

Suponga que [math] z \ ne 0 [/ math], y escriba [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math], con [math] 0 \ le \ theta <2 \ pi [/ math]. Entonces [math] z ^ 3 + | z | = 0 [/ math] se traduce a [math] r ^ 3e ^ {3i \ theta} + r = 0 [/ math], y desde [math] r \ ne 0 [ / math], a [math] r ^ 2e ^ {3i \ theta} = – 1 [/ math].

Tomando el módulo de ambos lados, obtenemos [matemáticas] r = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {3i \ theta} = – 1 = e ^ {i \ pi} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] \ theta = \ frac {(2n + 1) \ pi} {3} [ / math], [math] n \ in \ {0,1,2 \} [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] z = e ^ {i \ pi / 3} = \ dfrac {1 + i \ sqrt {3}} {2}, e ^ {i \ pi} = -1, [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {i5 \ pi / 3} = \ dfrac {1-i \ sqrt {3}} {2}, [/ matemáticas]

o más brevemente como

[matemáticas] z = \ dfrac {1 \ pm i \ sqrt {3}} {2}, -1 [/ matemáticas].

Se puede verificar que cada uno de estos valores de z, junto con [matemática] z = 0 [/ matemática], satisfaga la ecuación [matemática] z ^ 3 + | z | = 0 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

① let z = re ^ (iθ + 2πn), n∈Z

z³ + | z | = 0

r³ e ^ (3iθ + 2πm) + r = 0

r {r²e ^ (3iθ + 2πm) +1} = 0

(yo)

r = 0 →

z = 0

o

(ii)

r²e ^ (3iθ + 2πm) = – 1 = e ^ iπ

∵ r> 0,

r = + 1,

3θ = π-2πm

m = -1, → 3θ = 3π → θ = π

m = 0, → 3θ = π → θ = π / 3

m = 1, → 3θ = -π → θ = -π / 3

m = 2, → 3θ = -3π, → θ = -π,

pero e ^ -iπ = e ^ iπ,

∴ los valores de m REPETIRÁN.

② ∴z = 0, z = e ^ iπ, z = e ^ ± iπ / 3

② ∴z = 0, z = -1, z = cis (± π / 3) OR cos (π / 3) ± isin (π / 3) OR ½ (1 + i√3), ½ (1 – i√ 3)

Podemos escribir el número [math] z [/ math] usando coordenadas polares.

[matemáticas] z = \ vert z \ vert (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) [/ matemáticas]

Ahora, si cubrimos este número obtenemos:

[matemáticas] z ^ 3 = \ vert z \ vert ^ 3 (\ cos3 \ phi + i \ sin3 \ phi) [/ matemáticas]

Lo sabemos:

[matemáticas] z ^ 3 = – \ vert z \ vert. [/ matemáticas]

Al calcular el módulo de ambos lados obtenemos:

[matemáticas] \ vert z \ vert ^ 3 = \ vert z \ vert. [/ matemáticas]

Y debido a que [math] \ vert z \ vert [/ math] debe ser un número real no negativo, obtenemos

[matemática] \ vert z \ vert = 1 [/ matemática] o [matemática] \ vert z \ vert = 0. [/ matemática]

Para [math] \ vert z \ vert = 0 [/ math] se cumple la ecuación. Consideremos ahora el caso [math] \ vert z \ vert = 1. [/ math] De la segunda y tercera ecuación obtenemos:

[matemáticas] \ cos3 \ phi + i \ sin3 \ phi = -1. [/ matemáticas]

Sabemos que dos nuber complejos son iguales entre sí si sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales. Por lo tanto, obtenemos un conjunto de dos ecuaciones algebraicas.

[matemática] \ cos3 \ phi = -1 [/ matemática] y [matemática] \ sin3 \ phi = 0. [/ matemática]

Estas dos ecuaciones se pueden resolver configurando [math] \ phi [/ math] para que sea igual a:

[matemáticas] \ phi = \ dfrac {2k + 1} {3} \ pi, [/ matemáticas]

donde [math] k [/ math] es cualquier número entero. Sin embargo, para diferentes valores de [math] k [/ math] solo obtenemos tres valores diferentes de [math] z [/ math]. Por lo tanto, la ecuación tiene cuatro soluciones complejas:

[matemáticas] z_1 = 0, [/ matemáticas]

[matemáticas] z_2 = \ dfrac {1} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}, [/ matemáticas]

[matemáticas] z_3 = -1, [/ matemáticas]

[matemáticas] z_4 = \ dfrac {1} {2} -i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}. [/ matemáticas]