Considere lo que significa si podemos completar el cubo. Significa que eventualmente podemos llegar a una ecuación que se parece a [math] (xs) ^ 3 = t [/ math]. Se deduce que las soluciones tendrán la forma [math] s + \ sqrt [3] {t} [/ math] para cada una de las raíces cúbicas de t. Dado que las tres raíces cúbicas de un número siempre están dispuestas en un triángulo equilátero en el plano complejo *, se deduce que completar el cubo de esta manera solo nos permitirá resolver ecuaciones cúbicas cuyas raíces están dispuestas de esta manera. Es una configuración muy específica que casi ninguna ecuación cúbica satisface.
Resulta que todas esas ecuaciones cúbicas tienen la forma [matemáticas] x ^ 3 + bx ^ 2 + \ frac {b ^ 2} {3} x + d = 0 [/ matemáticas]. Frank Wei ha hecho un excelente trabajo explicando cómo resolver ese caso completando el cubo.
Pero, ¿y si el cúbico no es de esa forma? ¿Quizás podamos cambiar lo que queremos decir con “completar el cubo” y permitir que el lado derecho sea algo más que un solo número? ¿Podemos hacer trampa de esa manera y volver a una expresión solo en los coeficientes originales para cada raíz? ¡Si podemos!
Así que supongamos que tenemos una [matemática] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] cúbica donde [matemática] b ^ 2 \ neq 3a [/ matemática]. Sustituyamos [math] x = y + s [/ math] donde y es la nueva variable y finalmente decidiremos qué constante queremos que sea s. Conectando y simplificando, obtenemos [matemáticas] y ^ 3 + (3s + a) y ^ 2 + (3s ^ 2 + 2as + b) x + (s ^ 3 + como ^ 2 + bs + c) [/ matemáticas] .
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Resulta, entonces, que la restricción original en ayb evita que los primeros tres términos de este cúbico sean los de un cubo perfecto. Pero si estamos dispuestos a arreglar los últimos tres y agregar al primero, pueden satisfacer nuestras restricciones en las raíces y formar un cubo perfecto siempre que [matemáticas] (3s ^ 2 + 2as + b) ^ 2 = 3 (3s + a) (s ^ 3 + como ^ 2 + bs + c) [/ math]. O, como polinomio en s:
[matemáticas] (a ^ 2-3b) s ^ 2 + (ab-9c) s + (b ^ 2-3ac) = 0 [/ matemáticas]
¿Te das cuenta de cómo los términos cúbicos y cuárticos se cancelaron tan bien? Maravillosa la forma en que funcionan las cosas.
De todos modos, como [matemática] a ^ 2-3b \ neq 0 [/ matemática] esta es una ecuación cuadrática real, podemos resolverla usando la fórmula cuadrática … que es esencialmente completando el cuadrado.
Podemos tomar las soluciones, luego, y volver a enchufarlas para s en el polinomio en términos de y arriba, luego dividir por [matemáticas] s ^ 3 + como ^ 2 + bs + c [/ matemáticas] en ambos lados (s ahora es cualquiera de las dos soluciones para el cuadrático resuelto anterior). Ahora los últimos tres términos de ese polinomio serán los de un cúbico. Finalmente, solo necesitamos restar [math] \ frac {y ^ 3} {s ^ 3 + as ^ 2 + bs + c} [/ math] de y agregar [math] (\ frac {(3s ^ 2 + 2as + b) y} {3 (s ^ 3 + as ^ 2 + bs + c)}) ^ 3 [/ math] a ambos lados para cambiar el primer término (cúbico) para que coincida con los otros tres, completando así el cubo .
Entonces, después de factorizar el cubo completado, tendremos:
[matemáticas] (\ frac {(3s ^ 2 + 2as + b) y} {3 (s ^ 3 + as ^ 2 + bs + c)} + 1) ^ 3 = ((\ frac {3s ^ 2 + 2as + b} {3 (s ^ 3 + como ^ 2 + bs + c)}) ^ 3- \ frac {1} {s ^ 3 + como ^ 2 + bs + c}) y ^ 3 [/ matemáticas]
Esto es algo que podemos tomar una raíz cúbica en ambos lados y resolver por y. Hecho esto, simplemente tomamos [math] x = y + s [/ math] como nuestra primera solución. Las otras dos soluciones que podríamos encontrar usando las otras dos raíces cúbicas para y, o dividiendo la raíz que tenemos de la ecuación original y resolviendo la cuadrática resultante. Tu elección.
* Existe una restricción similar en las soluciones de un cuadrático: ambas soluciones deben caer en un digón regular, también conocido como segmento de línea … pero cualquiera de los dos puntos están en la misma línea, por lo que cada cuadrático tiene esa propiedad, razón por la cual completar La plaza siempre funciona.