En una función cuadrática, las raíces son donde la función es 0, y el vértice es donde la función tiene un mínimo o un máximo.
Si el problema del precio del boleto es preguntar qué precio debe elegir para maximizar las ganancias, según alguna fórmula, entonces debe intentar encontrar el vértice.
Si el problema de los precios de las entradas es preguntar qué precio (s) son su precio de equilibrio, entonces debe resolver las raíces.
Por ejemplo, dada la configuración de que está organizando una fiesta de baile, y sabe que costará $ 5,000 organizarla, sabe que puede esperar que aparezcan 1000 personas si cobra $ 4 en la puerta, pero la cantidad de personas lo hará. disminuya en 50 por cada dólar adicional que cobre. Aquí hay tres preguntas: (a) ¿Cuál es el beneficio que puede esperar, en función del precio del boleto? (b) ¿Cuál es el punto de precio máximo y mínimo en el que aún puede esperar un beneficio? (c) ¿Cuál es el mejor precio a cobrar para obtener el máximo beneficio?
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La pregunta (a) se puede resolver pieza por pieza. La ganancia [matemática] P (p) [/ matemática] es su ingreso menos sus costos, por lo que en este caso es [matemática] P (p) = I (p) -5000 [/ matemática]. Ingresos [matemática] I (p) [/ matemática] es la cantidad de dinero que recibe, su precio multiplicado por su asistencia [matemática] I (p) = pA (p) [/ matemática]. Su asistencia es el número de personas que se presentan. En este caso, es [matemáticas] A (p) = 1000 – 50 (p-4) = 1200-50p [/ matemáticas]. Al juntar todo eso, obtienes [matemáticas] P (p) = I (p) – 5000 = pA (p) -5000 = p (1200-50p) -5000 = -50p ^ 2 + 1200p-5000 [/ matemáticas ]
La pregunta (b) pregunta qué precio generará un punto de beneficio particular, por lo que le pide que resuelva la ecuación [matemática] P (p) = 0 = -50p ^ 2 + 1200p-5000 [/ matemática]. Usando la fórmula cuadrática, esto le da puntos de precio de equilibrio de aproximadamente $ 5.37 y $ 18.63.
La pregunta (c) le pregunta qué precio maximizará sus ganancias, por lo que le pregunta dónde es la mayor ganancia: el vértice de la parábola, que tiene un precio de boleto de $ 12.