Usted no
Resolver una ecuación algebraicamente significa dar explícitamente una secuencia de operaciones que aíslan la variable desconocida en un lado de la ecuación. De manera más abstracta, puede describir una ecuación en una variable desconocida [matemáticas] x [/ matemáticas] como una igualdad
[matemáticas] f_1 (x) = f_2 (x) [/ matemáticas]
donde se encuentra el valor de [math] x [/ math]. Al restar [math] f_2 (x) [/ math] de ambos lados y escribir [math] f = f_1-f_2 [/ math], obtienes
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[matemáticas] f (x) = 0. [/ matemáticas]
Resolver la ecuación, entonces, es dar una secuencia de operaciones que lleguen a una igualdad como
[matemáticas] x = a [/ matemáticas]
o, si la ecuación tiene múltiples soluciones, encuentre todos los valores [matemática] x = a_1, a_2, \ puntos [/ matemática] por alguna secuencia de operaciones.
Esto resulta ser lo mismo que dar explícitamente un inverso para [math] f [/ math] (o todas las inversas locales para [math] f [/ math] que se pueden definir en 0), porque una vez que tenga inversa [matemática] g [/ matemática], puede calcular
[matemáticas] x = g (0). [/ matemáticas]
Por ejemplo, con una ecuación lineal [matemática] ax + b = 0 [/ matemática] tienes [matemática] f (x) = ax + b [/ matemática], que tiene una inversa [matemática] f ^ {- 1} (y) = \ frac {yb} a [/ math], y la solución es [math] x = f ^ {- 1} (0) = \ frac {-b} a [/ math].
Con una ecuación cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], tiene [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], que tiene dos inversos locales dados por La fórmula cuadrática:
[matemática] g_1 (y) = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4a (cy)}} {2a} [/ matemática], [matemática] g_2 (y) = \ frac {-b – \ sqrt {b ^ 2-4a (cy)}} {2a} [/ math]
y las dos soluciones (si [math] g [/ math] puede definirse en 0) están dadas por [math] x = g (0) [/ math] y dan la fórmula habitual para las soluciones,
[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas].
Entonces, resolver una ecuación algebraicamente es equivalente a encontrar una fórmula para los inversos [math] g [/ math] de la función correspondiente [math] f [/ math]. En el caso de su ecuación, se puede escribir como [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas], donde
[matemáticas] f (x) = 5 ^ {x-1} + 7 ^ {2x-1} -6 [/ matemáticas].
La función [math] f [/ math] es continua y creciente, porque es la suma de funciones de aumento continuo (y una constante), por lo que tiene un inverso único [math] f ^ {- 1} [/ math] y así , si la ecuación tiene una solución, solo tiene una solución. Además, la solución existe porque 0 está en el rango de la función (se puede ver que [math] f (0) [/ math] es negativo mientras que [math] f (1) [/ math] es positivo, y por continuidad la solución debe estar entre 0 y 1).
Desafortunadamente, la inversa [matemática] f ^ {- 1} [/ matemática] no se puede dar explícitamente en términos de operaciones más simples como la suma, multiplicación, exponenciación o logaritmos. Esto significa que una solución “algebraica” de su ecuación no puede ser más explícita que
Resta 6 de ambos lados; aplique [matemática] f ^ {- 1} [/ matemática] a ambos lados para obtener [matemática] x = f ^ {- 1} (0) [/ matemática]; Ya terminaste.
Seguramente esto no es muy satisfactorio. Pero resulta que las sumas de exponenciales son muy difíciles de simplificar simbólicamente. Lo mejor que puede hacer es utilizar métodos numéricos para aproximar la solución. Pero aproximar una solución ya no es una cuestión “algebraica”.