Encuentre la ecuación del círculo cuyo centro se encuentra en la línea x-4y = 1 y que pasa por el punto 3,7 y 5,5.

Answer 1

Como el círculo pasa por los puntos

[matemáticas] A = (3,7) [/ matemáticas]

[matemáticas] B = (5,5) [/ matemáticas]

significa que el centro del círculo es equidistante de los puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática].

Esto significa que el centro del círculo tiene que estar en la bisectriz perpendicular del segmento de línea [matemática] AB [/ matemática].

La pendiente de [matemáticas] AB = \ dfrac {7–5} {3–5} = – 1 [/ matemáticas]

Entonces, la pendiente de la bisectriz perpendicular de [math] AB [/ math] es [math] 1 [/ math].

También la bisectriz perpendicular de [matemáticas] AB [/ matemáticas] tiene que pasar por el punto medio de AB, que es

[matemática] \ left (\ dfrac {3 + 5} {2}, \ dfrac {7 + 5} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] = (4,6) [/ matemáticas]

Entonces la ecuación de la bisectriz perpendicular es

[matemáticas] \ dfrac {y-6} {x-4} = 1 [/ matemáticas]

o [matemáticas] y = x + 2 [/ matemáticas]

Ahora sepa que el centro del círculo pasa a través de dos líneas.

[matemáticas] x-4y = 1 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y = x + 2 [/ matemáticas]

Al resolver las dos ecuaciones, sabemos que el centro del círculo está en [matemáticas] (- 3, -1) [/ matemáticas].

Como el círculo pasa a través de [matemáticas] (5,5) [/ matemáticas], el radio del círculo es

[matemáticas] \ sqrt {(5 – (- 3)) ^ 2+ (5 – (- 1)) ^ 2} = 10 [/ matemáticas]

Ahora sabemos que nuestro círculo tiene un radio [matemático] 10 [/ matemático] y está centrado en [matemático] (- 3, -1) [/ matemático]. Entonces su ecuación será

[matemáticas] (x + 3) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 100 [/ matemáticas]

Answer 2

Sea O (h, k) el centro de un círculo que pasa por P (3,7) y Q (5,5).

OP ^ 2 == OQ ^ 2 = r ^ 2

(h-3) ^ 2 + (k-7) ^ 2 = (h-5) ^ 2 + (k-5) ^ 2

h ^ 2–6h + 9 + k ^ 2–14k + 49 = h ^ 2–10h + 25 + k ^ 2–10k + 25.

4h-4k + 8 = 0 o h-k + 2 = 0 ……………… (1)

O (h, k) se encuentra en la línea x-4y = 1

h-4k = 1 ……………………. (2)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2)

h = -3. k = -1.

Eq. de círculo es: –

(x + 3) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = (OQ) ^ 2

o x ^ 2 + 6x + 9 + y ^ 2 + 2y + 1 = (- 3–5) ^ 2 + (- 1–5) ^ 2

x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 2y + 10 = 64 + 36

x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 2y-90 = 0, respuesta.

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Answer 3