¿Cuál es la ecuación de hamilton jacobi?

Answer 1

¡Oh wow! Estás haciendo preguntas realmente avanzadas. Recibí esta pregunta en mi examen de mecánica teórica y no estaba particularmente feliz por eso. No quiero entrar en demasiados detalles, porque nadie lo leería de todos modos. Solo intentaré darte una idea de lo que es eso.

Estoy seguro de que está familiarizado con las leyes del movimiento de Newton. Si no, puedes buscarlos en google, wikipedia hará el trabajo y te los explicará. El problema es que usar las leyes de movimiento de Newton directamente no suele ser la mejor manera de abordar un problema. Afortunadamente, JL Lagrange y WR Hamilton encontraron diferentes formas de abordar un problema de un sistema de partículas que se mueven en un campo de fuerza. La mecánica hamiltoniana utiliza coordenadas generalizadas [matemáticas] q ^ j [/ matemáticas] y momentos generalizados [matemáticas] p_j [/ matemáticas] para describir la posición y la velocidad del sistema.

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton se ven así:

[math] \ dfrac {\ mathrm {d} q ^ j} {\ mathrm {d} t} = \ dfrac {\ partial H} {\ partial p_j} [/ math]

[matemática] \ dfrac {\ mathrm {d} p_j} {\ mathrm {d} t} = – \ dfrac {\ partial H} {\ partial q ^ j} [/ math]

[matemática] H [/ matemática] es la función de Hamilton, o hamiltoniana, y generalmente es igual a la energía mecánica total del sistema. Es posible cambiar las coordenadas y el hamiltoniano y aún mantener la estructura de las ecuaciones de Hamilton, pero solo hay ciertas formas de hacerlo. Cada transformación de este tipo es generada por una función F, que puede ser función de coordinadores antiguos y nuevos, o momentos antiguos y nuevos, etc. No creo que pueda explicar esto correctamente en esta respuesta. Sin embargo, también debes cambiar tu hamiltoniano.

Ahora, si observa la estructura de las ecuaciones de Hamilton, si el hamiltoniano era una constante, tal vez [matemáticas] 0 [/ matemáticas], entonces las ecuaciones de Hamilton nos dicen que nuestras coordenadas y momentos generalizados son constantes en el tiempo. Esto sería realmente útil si pudiéramos cambiar nuestras coordenadas para que el hamiltoniano sea trivial. La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial única y su solución genera dicha transformación de coordenadas y momentos. Una vez que resolvamos esta ecuación, sabemos que las nuevas coordenadas y momentos se conservan durante el movimiento y podemos transformar de nuevo a nuestras coordenadas originales. Básicamente, resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi resuelve completamente el problema. Sin embargo, generalmente es realmente difícil de resolver.

Bien, genial, pero es útil para algo si es tan difícil resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi, podrías preguntar. Por lo general, no realmente. Sin embargo, B. Carter utilizó esta teoría y encontró la cuarta cantidad conservada en el problema de una partícula cargada que orbita el agujero negro de Kerr-Newman. Espero que esto te dé una idea de qué es esta ecuación.