Si una ecuación diferencial de la forma
no es exacto, entonces existe una función μ ( x, y ) tal que la ecuación equivalente obtenida multiplicando ambos lados de (*) por μ,
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es exacto Dicha función μ se llama factor integrador de la ecuación original y se garantiza que existe si la ecuación diferencial dada realmente tiene una solución.
En palabras más comunes, cuando tenemos una ecuación diferencial, por ejemplo y ‘+ ay = b .. un factor de integración convertirá esta ecuación en la forma U’V + V’U = c
Lo cual es muy simple de resolver porque sabemos que U’V + V’U = (UV) ‘
Entonces terminaremos con (UV) ‘= c → UV = ∫ c
Probemos un ejemplo simple:
y ‘+ xy = x
Un factor integrador es exp (∫x dx) = exp (x ^ 2/2)
Multiplique ambos lados por los rendimientos del factor integrante:
[matemáticas] \ exp (x ^ 2/2) y ‘+ \ exp (x ^ 2/2) xy = \ exp (x ^ 2/2) x [/ matemáticas]
De la forma UV ‘+ U’V = exp (x ^ 2/2). X
[matemáticas] d (UV) = d (\ exp (x ^ 2/2). y) = \ exp (x ^ 2/2). x [/ matemáticas]
Integre ambos lados y obtendrá la respuesta
[matemática] y = C1 \ exp (-x ^ 2/2) + 1 [/ matemática]