¿Cuáles son algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en economía?

Muchos problemas económicos son muy manejables cuando se formulan en tiempo continuo. Por ejemplo, el modelo de crecimiento neoclásico estándar es el modelo Ramsey – Cass – Koopmans. Aquí, expresamos la evolución del capital con ecuaciones diferenciales, y resolvemos el comportamiento en estado estacionario (en consumo y ahorro) estableciendo un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas igual a cero. Sin embargo, este es un ejemplo relativamente simple.

En mi propia investigación sobre la política macroprudencial en los mercados internacionales, he usado ecuaciones diferenciales por todas partes. Para resolver el comportamiento de equilibrio, resuelvo (numéricamente, por supuesto) el problema del valor inicial a una ecuación diferencial implícita. Usando mi solución a esa ecuación, puedo retroceder el comportamiento de mi variable de estado [math] \ eta [/ math] y expresar en forma cerrada los términos en la ecuación diferencial estocástica

[matemáticas] d \ eta_t = \ mu ^ {\ eta} _t \ eta_tdt + \ sigma ^ {\ eta} _t \ eta_t \ cdot dZ_t [/ math]

donde [math] \ mu ^ {\ eta} _t \ eta_t [/ math] es la deriva y [math] \ sigma ^ {\ eta} _t \ eta_t [/ math] es la volatilidad del proceso. Finalmente, puedo calcular el bienestar social resolviendo numéricamente el problema del valor límite en la ecuación no lineal de segundo orden

[matemáticas] \ rho H = \ log (\ rho) + \ dfrac {\ mu ^ {\ eta}} {\ rho} – \ dfrac {(\ sigma ^ {\ eta}) ^ 2} {2 \ rho} + \ dfrac {\ mu ^ K} {\ rho} – \ dfrac {(\ sigma ^ K) ^ 2} {2 \ rho} + \ mu ^ {\ eta} \ eta H ‘+ \ dfrac {(\ sigma ^ \ eta) ^ 2} {2} H ” [/ matemáticas]

donde [math] \ mu ^ K, \ sigma ^ K [/ math] son ​​la deriva por unidad y la volatilidad del proceso de difusión para capital y [math] H [/ math] es la variable que intento calcular. Como resultado, puedo comparar varias políticas macroprudenciales y ver cómo afectan el bienestar social para determinar la política óptima. Esta característica no es común a la mayoría de los modelos económicos. Normalmente, es difícil realizar un análisis de bienestar porque los modelos macroeconómicos son generalmente dinámicos, por lo que debemos emplear técnicas de optimización dinámica. En general, tratamos de encontrar la función de valor para la ecuación de Bellman, pero calcular esta función de valor generalmente es muy difícil. Sin embargo, en un tiempo continuo con ciertos supuestos sobre las preferencias del consumidor, es mucho más fácil.

TLDR : las ecuaciones diferenciales hacen que muchos problemas económicos sean manejables para modelar porque podemos resolver cómodamente muchas ecuaciones diferenciales con herramientas numéricas, mientras que las ecuaciones de diferencia son mucho más difíciles de resolver por completo (y a menudo requieren técnicas de aproximación como la linealización logarítmica).