Cómo resolver esta ecuación donde z es un número complejo [matemáticas] (2z + 2i) ^ 4 = z ^ 4 [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] (2z + 2i) ^ 4 = z ^ 4 [/ matemáticas]

Si multiplicamos por [matemática] w ^ 4 = 1 [/ matemática] donde [matemática] w [/ matemática] es cualquier cuarta raíz de la unidad, entonces podemos tomar la cuarta raíz de ambos lados de la manera fácil y aún así obtener todo Cuatro soluciones.

[matemáticas] w ^ 4 (2z + 2i) ^ 4 = z ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] w (2z + 2i) = z [/ matemáticas]

[matemáticas] 2wz – z = -2iw [/ matemáticas]

[matemáticas] z (2w -1) = -2i w [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ dfrac {2iw} {1 – 2w} [/ matemáticas]

Las cuatro cuartas raíces de la unidad son, por supuesto, [matemática] 1, i, -1 [/ matemática] y [matemática] -i. [/ Matemática] Repasemos y obtengamos todas las [matemática] z [/ matemática] s .

[matemática] w = 1 [/ matemática] da [matemática] z = \ dfrac {2i} {1 -2} = -2i [/ matemática]

[matemática] w = -1 [/ matemática] da [matemática] z = \ dfrac {-2i} {3} [/ matemática]

[matemática] w = i [/ matemática] da [matemática] z = \ dfrac {-2} {1 – 2i} \ cdot \ dfrac {1 + 2i} {1 + 2i} = \ dfrac {-2 – 4i} {5} [/ matemáticas]

[matemática] w = -i [/ matemática] da [matemática] z = \ dfrac {2} {1 + 2i} \ cdot \ dfrac {1 -2i} {1 -2i} = \ dfrac {2 -4i} { 5} [/ matemáticas]

Cheque.

[matemáticas] (2 (-2i) + 2i) ^ 4 = (2i) ^ 4 \ quad \ quad (-2i) ^ 4 = (2i) ^ 4 \ quad \ marca de verificación [/ math]

[matemáticas] (2 (-2i / 3) + 2i) ^ 4 = (2i / 3) ^ 4 \ quad \ quad (-2i / 3) ^ 4 = (2i / 3) ^ 4 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 (-2 -4i) / 5 + 2i) ^ 4 = ((-4 – 8i + 10i) / 5) ^ 4 = ((-4 + 2i) / 5) ^ 4 = ((12 -16i) / 25) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] ((-2 – 4i) / 5) ^ 4 = ((-12 + 16i) / 25) ^ 2 = ((12-16i) / 25) ^ 4 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Les dejo el último a aquellos con un lápiz.

Answer 2

¡Mucho trabajo duro, un resultado ligeramente decepcionante pero aún muy satisfactorio!

Answer 3

Bueno, hay muchos métodos para resolver este problema.

1. Poniendo z = x + iy
2. Resuelve la ecuación solo para z
3. Convirtiéndolo en una ecuación cuadrática, luego resuelva para z.
4. Multiplica la ecuación por la cuarta raíz de la unidad

Todos los métodos anteriores tomarán demasiado papel y tiempo tuyo

Prefiero el siguiente método para resolver el problema.

Espero que esto ayude…

Answer 4

Un método “simple” (pero no muy elegante) podría ser llevar todo a un lado de la igualdad y factorizar:

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ qquad (2z + 2i) ^ 4 – z ^ 4 & = 0 \\ ((2z + 2i) ^ 2 + z ^ 2) ((2z + 2i) ^ 2 – z ^ 2) & = 0 \ end {align *}} [/ math]

Entonces tienes dos cuadráticos para resolver, y deberían ser fáciles de hacer.

Answer 5

[matemáticas] z ^ 4- (2z + 2i) ^ 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 4- (4z ^ 2 + 8i * z-4) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 4- (16z ^ 4 + 64i * z ^ 3-32z ^ 2-64z ^ 2-64i * z + 16) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -12z ^ 4–64i * z ^ 3 + 96z ^ 2 + 64i * z-16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3z ^ 4 + 16i * z ^ 3–24z ^ 2–16i * z-4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (z + i-1) (z + i + 1) (3z ^ 2 + 10i * z + 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = -i + 1, -i-1, – \ frac {i} {3} * (5+ \ sqrt {31}), \ frac {i} {3} (- 5+ \ sqrt { 31}) [/ matemáticas]

Answer 6

{(4 (z + i) ² + z²} {4 (z + i) ²-z²} = 0

{5z² + 8iz-4} {3z² + 8iz-4} = 0

(3z + 2i) (z + 2i) = 0

z = -2i o -2i / 3 ☜☜

o

z = (- 8i ± 4) / 10

= 2 (± 1–2i) / 5 ☜☜

Answer 7