Si, de hecho!
Es posible obtener mucha información sobre el comportamiento cualitativo sin resolver las ecuaciones. Una herramienta muy útil es el retrato de fase: Wikipedia. Esto se usa, por ejemplo, para analizar las ecuaciones de Lotka-Volterra. Este es un sistema bastante simple, que no tiene una solución de forma cerrada. Sin embargo, es posible demostrar que todas las soluciones son periódicas. Ese es ciertamente un resultado no trivial.
En el otro extremo, tenemos la teoría ergódica, que se utiliza para estudiar el movimiento de muchas partículas, por ejemplo, un gas. El resultado principal es que, bajo ciertas condiciones, la teoría predice que cualquier trayectoria se acercará arbitrariamente a todos los puntos en el espacio de fase. Esto es útil para predecir promedios, por ejemplo, la energía cinética promedio de una molécula de gas, que es la base de la física estadística y la termodinámica.
Luego está el estudio de la teoría de sistemas dinámicos. Uno (de muchos) aspectos es determinar la ubicación de los puntos estacionarios y predecir si son estables o no. Esto también se puede hacer sin una solución explícita del sistema.
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Hay muchas más técnicas, pero la mayoría son algo ad-hoc, es decir, específicamente desarrolladas para un sistema dinámico particular.