La ecuación cuadrática general es
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]
para [matemáticas] a \ ne 0. [/ matemáticas]
Las soluciones (a menudo hay dos) están dadas por la fórmula cuadrática:
- Si dibujo una línea aleatoria en un gráfico, ¿cómo podría, si es posible, averiguar la función, que si se grafica, formaría la misma línea?
- ¿Por qué debería saber la fórmula cuadrática?
- Si viajo en línea recta a lo largo del ecuador, ¿cuánto tiempo me llevará llegar a mi punto de partida?
- Cómo resolver la ecuación lineal de diofantina [matemática] 6x + 10y + 15z = 23 [/ matemática]
- Cómo resolver la ecuación lineal de diofantina [matemática] 3x + 6y + 5z = 7 [/ matemática]
[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]
Por ejemplo,
[matemáticas] x ^ 2 – 3x + 2 = 0 [/ matemáticas]
tiene soluciones
[matemáticas] x = \ dfrac {- (-3) \ pm \ sqrt {(-3) ^ 2 – 4 (2)}} {2} = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {9 -8}} { 2} = \ dfrac {3 \ pm 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ dfrac {3 + 1} {2} = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ dfrac {3 -1} {2} = 1 [/ matemáticas]
Cuando la raíz cuadrada sale bien así, significa que podríamos haber factorizado:
[matemáticas] 0 = x ^ 2 -3x + 2 = (x-2) (x-1) [/ matemáticas]
La prueba de la fórmula cuadrática proviene de completar el cuadrado:
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] ax ^ 2 + bx = -c [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac bax = – \ dfrac ca [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac bax + \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} = \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ dfrac ca [/ math]
[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2} [/ math]
Dado que la cosa al cuadrado puede ser positiva o negativa, escribimos [math] \ pm [/ math] para el siguiente paso:
[matemáticas] x + \ dfrac {b} {2a} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2}} [/ matemáticas]
Normalmente cuando sacamos un término al cuadrado como [math] \ dfrac {1} {4a ^ 2} [/ math] debajo del signo radical, necesitamos tomar el valor absoluto de la cantidad no cuadrada, por ejemplo, [math] \ left | \ dfrac {1} {2a} \ right | [/ math]. Aquí, debido a [math] \ pm, [/ math] no necesitamos molestarnos con el valor absoluto porque buscamos tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa.
[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} \ pm \ dfrac {\ sqrt {b ^ 2 -4 ac}} {2a} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]