¿Cuál es la fórmula estándar de la ecuación cuadrática, dar ejemplo y prueba?

La ecuación cuadrática general es

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

para [matemáticas] a \ ne 0. [/ matemáticas]

Las soluciones (a menudo hay dos) están dadas por la fórmula cuadrática:

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Por ejemplo,

[matemáticas] x ^ 2 – 3x + 2 = 0 [/ matemáticas]

tiene soluciones

[matemáticas] x = \ dfrac {- (-3) \ pm \ sqrt {(-3) ^ 2 – 4 (2)}} {2} = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {9 -8}} { 2} = \ dfrac {3 \ pm 1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {3 + 1} {2} = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ dfrac {3 -1} {2} = 1 [/ matemáticas]

Cuando la raíz cuadrada sale bien así, significa que podríamos haber factorizado:

[matemáticas] 0 = x ^ 2 -3x + 2 = (x-2) (x-1) [/ matemáticas]

La prueba de la fórmula cuadrática proviene de completar el cuadrado:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ax ^ 2 + bx = -c [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac bax = – \ dfrac ca [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac bax + \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} = \ dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ dfrac ca [/ math]

[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2} [/ math]

Dado que la cosa al cuadrado puede ser positiva o negativa, escribimos [math] \ pm [/ math] para el siguiente paso:

[matemáticas] x + \ dfrac {b} {2a} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2}} [/ matemáticas]

Normalmente cuando sacamos un término al cuadrado como [math] \ dfrac {1} {4a ^ 2} [/ math] debajo del signo radical, necesitamos tomar el valor absoluto de la cantidad no cuadrada, por ejemplo, [math] \ left | \ dfrac {1} {2a} \ right | [/ math]. Aquí, debido a [math] \ pm, [/ math] no necesitamos molestarnos con el valor absoluto porque buscamos tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa.

[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} \ pm \ dfrac {\ sqrt {b ^ 2 -4 ac}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

No puedes probar una ecuación cuadrática, es solo una definición. Supongo que te refieres a la fórmula para la solución de una ecuación cuadrática.

La fórmula generalmente se prueba completando el cuadrado.

La ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0 se puede escribir x ^ 2 + (b / a) x = -c / a. Tenga en cuenta que podríamos dividir por a porque no es cero (de lo contrario, la ecuación no sería cuadrática).

Ahora x ^ 2 + (b / a) x = (x + (b / 2a)) ^ 2 – (b / 2a) ^ 2 para poder escribir la ecuación

(x + (b / 2a)) ^ 2 = (b / 2a) ^ 2 – c / a.

Ahora toma la raíz cuadrada de ambos lados y reorganiza. Ese es tu trabajo si quieres aprender.

Las fórmulas estándar para la ecuación cuadrática son

ax ^ 2 + bc + c = 0 aquí a no puede ser igual a cero.

Por ejemplo: 2x ^ 2 = 0 es quad

Pero 2x + 1 = 0 no es cuadrático