Consulte la respuesta de Daniel R. Page a ¿Cómo resuelvo T (n) = 2T (n / 2) + log n con el método del árbol de recurrencia?
En caso de que te estés preguntando cómo calcularon [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {m} {k2 ^ {k}} [/ matemáticas], aquí hay una prueba.
Comenzamos escribiendo la fórmula para la suma de una progresión geométrica con ‘r’ como la razón común y ‘a’ como el término inicial.
[matemáticas] {\ Large \ frac {a (r ^ {m} -1)} {r-1}} = a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} +… ar ^ {m-1 }[/matemáticas]
- La hipótesis de Riemann establece que [math] \ pi (n) – li (n) \ sim n ^ {1/2} \ log n [/ math]. Sin embargo, ¿implica que sea el comportamiento asintótico más estricto posible? ¿Puede haber una función [matemáticas] f (n) <n ^ {1/2} \ log n /; lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ pi (n) -li (n)} {f (n)} = K [/ matemáticas]? es decir: [matemáticas] f (n) = \ sqrt {n} [/ matemáticas]
- ¿Cómo podemos calcular la frecuencia y el peso de los errores incurridos por múltiples personas que realizan una tarea repetible?
- ¿Cómo podría obtener los números primos entre un rango de (1) a (n) en la raíz cuadrada de N?
- ¿Qué número n tiene la mayoría de los factores en comparación con todos los números menores que n?
- Me dan O probabilidades y E pares. ¿De cuántas maneras puedo obtener una suma impar usando los números K del total (O + E)?
Diferenciando ambos lados con respecto a ‘r’ (‘a’ es una constante), obtenemos
[matemáticas] {\ Large \ frac {a ((r-1) mr ^ {m-1} – (r ^ {m} -1) (1))} {(r-1) ^ {2}}} = 0 + a + 2ar + 3ar ^ {2} +… (m-1) ar ^ {m-2} [/ math]
‘a’ puede cancelarse desde ambos lados, ya que [math] a \ neq 0 [/ math]
[matemáticas] {\ Large \ frac {(mr ^ {m} -mr ^ {m-1} – r ^ {m} + 1)} {(r-1) ^ {2}}} = 1 + 2r + 3r ^ {2} +… (m-1) r ^ {m-2} [/ matemática]
Ahora multiplique ambos lados por ‘r’
[matemáticas] {\ Large \ frac {(mr ^ {m + 1} -mr ^ {m} – r ^ {m + 1} + r)} {(r-1) ^ {2}}} = r + 2r ^ {2} + 3r ^ {3} +… (m-1) r ^ {m-1} [/ matemática]
Observe que el RHS = [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {m-1} {k2 ^ {k}} [/ matemáticas]
Configurando ‘r’ = 2, obtenemos
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {m-1} {k2 ^ {k}} = m2 ^ {m + 1} -m2 ^ {m} – 2 ^ {m + 1} + 2 [/ matemáticas ]
Pero nuestra suma es incompleta, es decir, solo tiene términos [math] (m-1) [/ math]. Añadiendo el término final, es decir, [matemáticas] m2 ^ {m} [/ matemáticas] en ambos lados, obtenemos
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {m} {k2 ^ {k}} = m2 ^ {m + 1} – \ require {cancel} \ cancel {m2 ^ {m}} – 2 ^ {m + 1} + 2 + \ require {cancel} \ cancel {m2 ^ {m}} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ sum_ {k = 1} ^ {m} {k2 ^ {k}} = m2 ^ {m + 1} – 2 ^ {m + 1} + 2 [/ matemáticas]
Y hemos terminado [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]