¿Tienes alguna idea sobre el problema 3x + 1?

Answer 1

Sí. Creo que llamarlo el “problema 3x + 1” podría ser un error. Parece que ese es el problema porque la función y sus secuencias se consideran inseparables. Sin embargo, las secuencias de Collatz se pueden generar sin multiplicar por [math] 3 [/ math]. Y eso es bastante significativo.

Hay otro tipo de función, llámelo “x-1 / x + 1”, que produce un superconjunto adecuado de los números impares de cada secuencia. Cada número impar se genera, en orden, por esta función, y algunos números impares adicionales que no podrían estar con [math] 3n + 1 [/ math]. Esos son múltiplos de 3 y números primos.

Con la exclusión de los números pares, las secuencias tienen menos de la mitad de la longitud. (Piense en los números pares como ruido, similar a los ceros triviales de la función zeta). Por ejemplo:

[matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas]
43 , 130, 65 , 196, 98, 49 , 148, 74, 37 , 112, 56, 28, 14, 7 , 22, 11 , 34, 17 , 52, 26, 13 , 40, 20, 10, 5 , 16, 8, 4, 2, 1

[matemáticas] n-1 / n + 1 [/ matemáticas]
43 , 65 , 49 , 37 , 9, 7 , 11 , 17 , 13 , 3, 5 , 1

Esta es la función [matemática] n-1 / n + 1 [/ matemática], seguida de su representación algorítmica:

[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} n + \ frac {n + 1} {2}, & \ mbox {if} n + 1 \ equiv 0 \ mbox {mod} 4 \\ n- \ frac { n-1} {4}, & \ mbox {if} n-1 \ equiv 0 \ mbox {mod} 8 \\ \ frac {n- \ frac {n + 1} {2}} {2}, & \ mbox {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

Hacer hasta n = 1
Si Mod (n + 1, 4) = 0
n = n + ((n + 1) / 2)
ElseIf Mod (n – 1, 8) = 0
n = n – ((n + 1) – 2) / 4
Más
n = (n – ((n + 1) / 2)) / 2
Imprimir n

Haré una observación probabilística sobre la función [matemática] n-1 / n + 1 [/ matemática]: Caso 1 ([matemática] n + 1 [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] 0 [/ math] mod [math] 4 [/ math]) representa la mitad de las operaciones; El Caso 2 ([matemática] n-1 [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] mod [matemática] 8 [/ matemática]) y el Caso 3 son una cuarta parte de cada una de las operaciones . Eso significa que el tercer caso rompe el empate, el que produce los números no [matemáticos] 3n + 1 [/ matemáticos]. Pero nuevamente, esto es solo probabilísticamente. (La exclusión de estos números de la función convencional es un artefacto de [math] 3n + 1 [/ math], donde el desempate son los poderes de [math] 2 [/ math]).