De acuerdo con los comentarios, lo que quieres son fracciones mixtas, entonces [math] (a, b, c) \ in \ mathbb Z \ times \ mathbb Z ^ * \ times \ mathbb Z ^ *, [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} (a + \ frac {b} {c}) (a + \ frac {c} {b}) = a ^ 2 & \ Leftrightarrow a ^ 2 + a (\ frac {c} { b} + \ frac {b} {c}) + \ frac {bc} {cb} = a ^ 2 \\ & \ Leftrightarrow a (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2} {bc}) + 1 = 0 \\ & \ Leftrightarrow a (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2} {bc}) = -1 \\ & \ Leftrightarrow a = – \ frac {bc} {b ^ 2 + c ^ 2} \ end {alinear} [/ matemáticas]
Ahora, tenga en cuenta que
[matemáticas] (bc) ^ 2 \ gt 0 \ Leftrightarrow b ^ 2 + c ^ 2 – 2bc \ gt 0 \ Leftrightarrow b ^ 2 + c ^ 2 \ gt 2bc \ Leftrightarrow \ frac {b ^ 2 + c ^ 2} {bc} \ gt 2 \ Leftrightarrow \ frac {bc} {b ^ 2 + c ^ 2} \ lt \ frac {1} {2} [/ math]
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Entonces no hay [matemáticas] a \ in \ mathbb Z, a \ frac {b} {c} \ times a \ frac {c} {b} = a ^ 2 [/ math]