La prueba de esto es constructiva. Comience en cualquiera de los vértices impares, muévase a un vértice vecino arbitrario a través de un borde no utilizado, y repita este proceso hasta que esté en un vértice con 0 bordes no utilizados (es decir, hasta que esté atascado). Tenga en cuenta que cuando hizo su primer movimiento, dejó un vértice uniforme (ya que usó 1 borde para salir). También tenga en cuenta que todos los vértices pares tienen la propiedad de que si alguna vez puede llegar allí, puede salir: sus recuentos de bordes solo pueden disminuir en múltiplos de 2 cada vez que los visita, lo que significa que nunca puede ser 0 cuando llegue, teniendo en cuenta que el recuento comenzó incluso. Todo esto significa que cuando te quedas atascado, será en el vértice extraño donde no empezaste. Además, después de este viaje, todos los vértices tendrán incluso un conteo de bordes no utilizado.
Ahora, tres cosas son posibles:
- la ruta que atravesó no tiene bordes no utilizados conectados a ninguno de sus vértices, y ha visitado todos los bordes.
- la ruta que atravesó no tiene bordes no utilizados conectados a ninguno de sus vértices, y no ha visitado todos los bordes.
- La ruta que atravesó tiene bordes no utilizados conectados a algunos de sus vértices.
En el caso 1, ya ha terminado: su ruta satisface la condición para una ruta euleriana.
En el caso 2, su gráfico no está conectado: el teorema es falso si el gráfico no está conectado, por lo que debe estipular que el gráfico está conectado como una condición adicional.
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En el caso 3, tome un borde no utilizado conectado a un vértice en el camino, y atraviese desde allí. Mediante un argumento similar al anterior (dado que todos los recuentos de bordes no utilizados son incluso antes de comenzar este nuevo recorrido), razonamos que cuando se atasca nuevamente, solo puede estar en el vértice donde comenzó. Eso significa que ahora tiene la ruta, por ejemplo, v1 -> v2 -> vk -> … -> vn de antes, y la ruta, por ejemplo, vk -> … -> vk ahora. Puede empalmar vk -> … -> vk en el lugar de vk en su ruta anterior, generando una nueva ruta que tenga menos bordes no utilizados. Además, tenga en cuenta que todos los recuentos de bordes no utilizados siguen siendo pares. Repita este proceso de aumento de ruta hasta que haya visitado todos los bordes.