Si [math] n [/ math] es impar, entonces (usando [math] d (n) [/ math] para la función de número de divisores) [math] d (2n) = d (2) d (n ) = 2 d (n) [/ matemáticas].
Si n es par, entonces necesitamos saber qué potencia de 2 divide [matemáticas] n [/ matemáticas]. Escriba [matemática] n [/ matemática] como [matemática] 2 ^ kj [/ matemática], donde [matemática] j [/ matemática] es impar. Entonces [matemáticas] d (2n) = d (2 \ cdot 2 ^ {k}) d (j) = (k + 2) d (j) [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] d (n) = d (2 ^ k) d (j) = (k + 1) d (j) [/ matemáticas]. Entonces,
[matemáticas] \ displaystyle d (2n) = \ frac {k + 2} {k + 1} d (n) [/ matemáticas]
donde [math] k [/ math] es la mayor potencia de 2 dividiendo [math] n [/ math]. Tenga en cuenta que si [math] n [/ math] es impar, esto se reduce a la fórmula anterior.
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Ejemplo: [matemáticas] d (40) = 8 [/ matemáticas]. [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] es la potencia más alta de [matemática] 2 [/ matemática] dividiendo [matemática] 40 [/ matemática], entonces [matemática] d (80) = \ frac {3 + 2} { 3 + 1} d (40) = 10 [/ matemáticas].