El producto de tres enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?

Answer 1

¡Esta pregunta requiere algo de álgebra!

[matemáticas] (x) (y) (z) = (8) (x + y + z) [/ matemáticas]: el producto es 8 veces la suma

[matemáticas] y = x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = y + 1 \ Flecha larga z = x + 2 [/ matemáticas]

Sustituir en la ecuación original:

[matemáticas] (x) (x + 1) (x + 2) = (8) (x + x + 1 + x + 2) [/ matemáticas]

Use la propiedad distributiva para recopilar los valores entre paréntesis:

[matemáticas] (x ^ 2 + x) (x + 2) = (8) (3x + 3) [/ matemáticas]

Hazlo otra vez:

[matemáticas] x ^ 3 + 2x ^ 2 + x ^ 2 + 2x = 24x + 24 [/ matemáticas]

Recoge términos similares:

[matemáticas] x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x = 24x + 24 [/ matemáticas]

Mueva los valores de derecha a izquierda para crear una ecuación cúbica:

[matemáticas] x ^ 3 + 3x ^ 2 – 22x – 24 = 0 [/ matemáticas]

Ahora viene la parte más difícil: resolver la ecuación cúbica. Ahorraré todo el trabajo duro (porque no hice nada, usé Wolfram | Alpha). Si realmente quieres aprender cómo resolver ecuaciones cúbicas, aquí hay un enlace: Cómo resolver una ecuación cúbica. Alternativamente, puede trazarlo en un gráfico y ver dónde se cruza 0.

De todos modos, esta ecuación cúbica produce 3 soluciones:

• [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

De estos, solo 4 es un número positivo, y solo estamos buscando números positivos, por lo que descartamos el resto.

[matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x + 1 \ Flecha larga derecha y = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = y + 1 \ Flecha larga z = 6 [/ matemáticas]

Ahora, nos conectamos a la ecuación original para verificar nuestra respuesta.

[matemáticas] (x) (y) (z) = (8) (x + y + z) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4) (5) (6) = (8) (4 + 5 + 6) [/ matemáticas]

[matemáticas] (20) (6) = (8) (15) [/ matemáticas]

[matemáticas] 120 = 120 [/ matemáticas]

Bien, entonces sabemos que tenemos los valores correctos ahora. Sin embargo, la pregunta pedía la suma de sus cuadrados, ¡así que todavía hay otro paso! Deje que [math] n [/ math] sea nuestra respuesta final (la suma de los cuadrados)

[matemáticas] n = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 16 + 25 + 36 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 77 [/ matemáticas]

¡Ahora sabemos la respuesta! La suma de los cuadrados de los tres números consecutivos es 77 .

Resuelto!

Answer 2

Si los tres enteros positivos consecutivos son [matemática] x-1 [/ matemática], [matemática] x [/ matemática], [matemática] x + 1 [/ matemática], entonces [matemática] (x-1) x (x +1) = 24x [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] x ^ 2–1 = 24 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] desde [matemática] x \ ne 0) [/ matemática], de modo que [matemática] x = 5 [/ matemática] [ math] ([/ math] desde [math] x> 0) [/ math]. Por lo tanto, los tres enteros son [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] 5 [/ matemática], [matemática] 6 [/ matemática], y la suma de sus cuadrados es [matemática] 77 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Sea N el primero de los números, por lo tanto,

N (N + 1) (N + 2) = 8 [N + N + 1 + N + 2] = 24 (N + 1), los (N + 1) s se cancelan para dejar una ecuación cuadrática:

N ^ 2 + 2N – 24 = 0 >> (N + 6) (N – 4) = 0. N se da positivo e ignora las raíces negativas, por lo tanto, N = 4 y los tres números son, por lo tanto, 4, 5 y 6. La suma de sus cuadrados es, por lo tanto, 16 + 25 + 36 = 77.

Answer 4

Deje que los tres números positivos consecutivos sean [matemática] a – 1, a, a + 1 [/ matemática]

De los datos dados:

[matemáticas] \ left ({a – 1} \ right) a \ left ({a + 1} \ right) = 8 \ left [{\ left ({a – 1} \ right) + a + \ left ({ a + 1} \ right)} \ right] [/ math]

[matemática] \ Rightarrow a \ left ({{a ^ 2} – 1} \ right) = 8 \ left ({3a} \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow a \ left ({{a ^ 2} – 1} \ right) – 24a = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow a \ left ({{a ^ 2} – 1 – 24} \ right) = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow a = 0; {a ^ 2} – 25 = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow a = 0; {a ^ 2} = 25 [/ math]

[math] \ Rightarrow a = 0; a = \ pm 5 [/ math]

[matemáticas] a = 5; a = – 5 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] a = 5 [/ matemáticas]

Por lo tanto, los tres números positivos consecutivos son [matemática] 4,5,6 [/ matemática]

Answer 5

Deje tres no consecutivos. son (x-1), x, (x + 1).

Entonces es dado

• (x-1) x (x + 1) = 8 (x + 1 + x + x-1)

(x ^ 2–1) x = 24x

Aquí x no puede ser cero, entonces

x = 5

Desde que no. son 4, 5,6

Y la suma de su cuadrado será 77.

Answer 6

Así que vamos a configurarlo así:

Primer número = x

Segundo número = x + 1

Tercer número = x + 2

Ahora me estás diciendo que: (x) * (x + 1) * (x + 2)

Igual a

8 * (3x + 3)

Okay

Los productos de todos ellos son X ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x

O

X * (x ^ 2 + 3x + 2)

Ahora 24x + 24 = x * (x ^ 2 + 3x + 2)

Paso 1 (supongo): resta 24x y 24 de ambos lados. Eso te deja con 0 = x * (x ^ 2 – 21x – 22)

Paso 2: al usar la fórmula cuadrática, puedes llegar al hecho de que X es igual a -1, 0 o 22.

No puede ser -1 porque no es positivo, por lo que es 0 o 22.

Por simplicidad, probaría para ver si 0 funcionó. ¿Entonces 0 + 1 + 2 debería ser igual a 0? No

Entonces tiene que ser 22, 23, 24. Los cuadrados de todos estos sumados son:

Sobre 14.3852

Aplicación: Photomath

Answer 7

Deje que los tres números sean: x-1, x y x + 1. Entonces

x (x-1) (x + 1) = 8 (x-1 + x + x + 1) = 24x, o

(x-1) (x + 1) = 24, entonces x = 5.

Los tres números son: 4, 5 y 6.

Entonces la suma de los cuadrados es 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 = 16 + 25 + 36 = 77

Answer 8

Be (a-1) (a) (a + 1) = 8 (3a) (Suponiendo que a> 1)

Entonces, (a-1) (a + 1) = 24.

a = 5 (La otra solución es a = -5, pero a> 1)

Entonces, 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 = 77.

Answer 9

• dejemos los tres números positivos consecutivos. ser ad, a, a + d
• ahora según la condición dada tenemos (a + d) * (ad) = 24
• ahora para encontrar la suma de sus cuadrados tenemos pasos
• (ad) * (ad) + (a + d) * (a + d) + a * a = y al resolverlo obtenemos 3a * a + 2d * d = y
• ahora puede escribirse como a * a + 2 (a * a + d * d) = y a partir del paso de la segunda línea podemos notar d * d = a * a-24 al colocarlo en el paso de la cuarta línea
• obtenemos 5a * a-48 = y ya que desde la segunda línea anterior se puede ver que la diferencia entre el cuadrado de dos enteros positivos es 24
• supongamos que 7 y 5 son esos dos enteros positivos, ya que satisface la condición dada si tomamos a = 7, entonces d debe ser 5, por lo tanto a + d = 12, a = 7, ad = 2 y la suma de sus cuadrados es igual a 197

Answer 10

Entonces, a partir de las preguntas dadas y una ligera comprensión de los gráficos, se dará cuenta de que este número aumenta muy rápidamente. Aunque hay formas matemáticas de hacer esto con gráficas, cálculos y demás, la forma más rápida sería aproximar y verificar con números similares. Como respondo, voy a aproximarme a 5, 6 y 7, la suma es 18 y el producto es 220, sé que los números son más pequeños. Con un rango, las suposiciones se vuelven mucho más fáciles, la siguiente suposición será 4, 5 y 6, la suma es 15 y el producto es 120. Tengo mi respuesta aquí. (15 * 8 = 120)

Si está familiarizado con Álgebra, está disponible un método mucho más simple y lógico.

la ecuación es (a-1) (a) (a + 1) = 3a * 8 ((a-1) + (a) + (a + 1) = 3a y 8 veces la respuesta)

Si sabe que (a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2 puede simplificar la ecuación a (a ^ 2–1) (a) = 24a. (a ^ 2–1) porque 1 ^ 2 sigue siendo 1.

Entonces, podemos dividir cada lado por una donación:

a ^ 2–1 = 24

Luego agregue 1 a cada lado,

a ^ 2 = 25

Raíz cuadrada a cada lado,

a = 5

Sabemos que los números son (a-1) (a) y (a + 1) y que a es 5, los números son 4 5 y 6

Answer 11

(x) (x + 1) (x + 2) = 8 (3x + 3) = 24x + 24

(x) (x + 2) = 24

x2 + 2x – 24 = 0

Luego usa la fórmula cuadrática.

x = -6

x = 4

y = 5

z = 6

Entonces la respuesta es 77.