Si los términos primero, segundo y octavo de GP son respectivamente n ^ -4, n ^ n y n ^ 52, entonces ¿cuál es el valor de n?

Answer 1

El término [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] t_x [/ matemáticas] en una progresión geométrica se puede escribir como:

[matemáticas] t_x = ar ^ {x-1} [/ matemáticas]

[matemática] a [/ matemática] es el primer término ([matemática] t_1 [/ matemática]) y [matemática] r [/ matemática] es el múltiplo común.

El primer término que se da es [matemática] t_1 = n ^ {- 4} [/ matemática], por lo que podemos sustituirla por [matemática] a [/ matemática]

[matemáticas] t_x = n ^ {- 4} r ^ {x-1} [/ matemáticas]

Ahora necesitamos encontrar [math] r [/ math]. Podemos hacer esto dejando [math] x = 8 [/ math], ya que se nos da el octavo término, [math] t_8 = n ^ {52} [/ math]

[matemáticas] t_8 = n ^ {- 4} r ^ {8-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Let} t_8 = n ^ {52} [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ {52} = n ^ {- 4} r ^ 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {n ^ {52}} {n ^ {- 4}} = r ^ 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 7 = n ^ {52 – (-4)} [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 7 = n ^ {56} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [7] {r ^ 7} = \ sqrt [7] {n ^ {56}} [/ matemáticas]

[matemáticas] r = n ^ {\ frac {56} {7}} [/ matemáticas]

[matemáticas] r = n ^ 8 [/ matemáticas]

Podemos volver a incluir esto en nuestra ecuación original:

[matemáticas] t_x = n ^ {- 4} (n ^ 8) ^ {x-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] t_x = n ^ {- 4} n ^ {8x-8} [/ matemáticas]

[matemáticas] t_x = n ^ {- 4 + 8x – 8} [/ matemáticas]

[matemáticas] t_x = n ^ {8x-12} [/ matemáticas]

Podemos [matemática] \ text {Let} x = 2 [/ matemática], y como nos dieron el segundo término, [matemática] t_2 = n ^ n [/ matemática], también podemos sumar eso.

[matemáticas] t_2 = n ^ {8 (2) -12} [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ n = n ^ {16-12} [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ n = n ^ 4 [/ matemáticas]

Como las bases en ambos lados son iguales, los índices en ambos lados son iguales.

[matemáticas] \ por lo tanto n = 4 [/ matemáticas]

Answer 2

Relación común = n ^ n / n ^ (- 4) = n ^ 52 / n ^ n

=> n ^ (n + 4) = n ^ (52-n)

{Usando x ^ m / x ^ n = x ^ (mn)

Como la base es la misma, los poderes se pueden equiparar.

Entonces, n + 4 = 52-n

=> 2n = 48 => n = 24. Resp.

Answer 3

Sea común ratio = [matemáticas] k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ n = k × n ^ {- 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica k = n ^ {n – (- 4)} = n ^ {n + 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 8 ^ {th} término = k ^ 7 × 1 ^ {st} término [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ {52} = n ^ {7 (n + 4)} × n ^ {- 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ {52} = n ^ {7n + 28-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ {52} = n ^ {7n + 24} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 52 = 7n + 24 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 7n = 28 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Enorme \ implica n = 4 [/ matemáticas]

Answer 4

La serie GP se puede escribir como a, ar, ar², [math] ar ^ 3…. [/ Math], donde a es el primer término y r commom múltiplo.

Entonces se le da el primer término es [matemática] n ^ {- 4} [/ matemática], es decir a = [matemática] n ^ {- 4}. [/ Matemática]

También se le da un segundo término, es decir, ar = [matemáticas] n ^ n. [/ Matemáticas]

Así que ahora divide segundo por primero, obtienes el valor de r = [matemáticas] \ frac {ar} {a} = \ frac {n ^ n} {n ^ {- 4}} = n ^ {(n + 4) }[/matemáticas]

Luego, se da como 8º término, es decir, [matemáticas] ar ^ 7 = n ^ {52} [/ matemáticas] que significa

[matemáticas] (n ^ {- 4}) (n ^ {n + 4}) ^ 7 = n ^ {52} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (n ^ {- 4}) (n ^ {(7n + 28)}) = n ^ {52} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ {(7n + 24)} = n ^ {52} [/ matemáticas]

Aplica las leyes de exponencial! Como la base es igual, los poderes deben ser iguales. Por lo tanto,

[matemáticas] 7n + 24 = 52 \ implica 7n = 28 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] n = 4.

Answer 5

n ^ n = n ^ -4 × r (r es una razón común)

r = n ^ (n + 4) ………… (1)

n ^ 52 = n ^ -4 × r ^ 7

r ^ 7 = n ^ 56

r = n ^ 8 ……………… .. (2)

Por la ecuación (1) y (2)

n ^ 8 = n ^ (n + 4)

Al comparar poderes

n + 4 = 8

n = 4