Hmm Esto no va a funcionar muy bien.
Comenzamos calculando las distancias:
[matemáticas] \ overline {JP} = \ sqrt {\ overline {JO} ^ 2 + \ overline {OP} ^ 2} = \ sqrt {64 + x ^ 2} [/ math]
[matemáticas] \ overline {PD} = \ sqrt {\ overline {PN} ^ 2 + \ overline {ND} ^ 2} = \ sqrt {(12-x) ^ 2 + 9} [/ math]
- ¿Cuál es la fórmula para la suma de la enésima suma parcial de una serie armónica en la que n es finito?
- Cómo encontrar el valor de [matemáticas] a ^ {(\ log_37) ^ 2} + b ^ {(\ log_711) ^ 2} + c ^ {(\ log_ {11} 25) ^ 2} [/ matemáticas] dado que [matemáticas] a ^ {\ log_37} = 27, \, b ^ {\ log_711} = 49, \, c ^ {\ log_ {11} 25} = \ sqrt {11} [/ matemáticas]
- Dadas [math] N [/ math] páginas de datos con la única operación permitida [math] query (i), [/ math] ¿qué algoritmo encuentra la última página usando la menor cantidad de consultas?
- Cómo calcular el número de diagonales de un polígono cuando se le da el número de vértices
- Si los términos primero, segundo y octavo de GP son respectivamente n ^ -4, n ^ n y n ^ 52, entonces ¿cuál es el valor de n?
El tiempo de viaje [matemáticas] t = \ dfrac {\ overline {JP}} {10} + \ dfrac {\ overline {PD}} {20} = \ dfrac {\ sqrt {64 + x ^ 2}} {10} + \ dfrac {\ sqrt {(12-x) ^ 2 + 9}} {20} [/ math]
Observe que [math] t \ to \ infty [/ math] como [math] x \ to \ pm \ infty [/ math], por lo que [math] t [/ math] alcanzará un valor mínimo en un punto donde [math] ] \ dfrac {\ mathrm dt} {\ mathrm dx} = 0 [/ math]. Observe también que estamos buscando [matemática] x \ en [0, 12] [/ matemática], ya que si [matemática] x 12 [/ matemática] podemos reducir trivialmente [matemática] t [/ matemática] moviendo [matemática] P [/ matemáticas] más cerca de [matemáticas] N [/ matemáticas].
[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm dt} {\ mathrm dx} = \ dfrac {x} {10 \ sqrt {64 + x ^ 2}} + \ dfrac {x-12} {20 \ sqrt {(12-x ) ^ 2 + 9}} [/ matemáticas]
Entonces [math] \ dfrac {\ mathrm dt} {\ mathrm dx} = 0 \ implica \ dfrac {x} {10 \ sqrt {64 + x ^ 2}} = \ dfrac {12-x} {20 \ sqrt { (12-x) ^ 2 + 9}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto x \ left (20 \ sqrt {(12-x) ^ 2 + 9} \ right) = \ left (12-x \ right) \ left (10 \ sqrt {64 + x ^ 2} \ derecha) [/ matemáticas]
Para eliminar las raíces cuadradas, podemos cuadrar ambos lados, pero debemos ser conscientes de que la ecuación resultante puede incluir “soluciones” adicionales que no resuelven nuestra ecuación original porque la cuadratura no es una operación uno a uno.
[matemáticas] \ por lo tanto 4x ^ 2 \ left (\ left (12-x \ right) ^ 2 + 9 \ right) = \ left (12-x \ right) ^ 2 \ left (64 + x ^ 2 \ right) [/matemáticas]
[matemática] \ por lo tanto 4x ^ 2 \ left (153-24x + x ^ 2 \ right) = \ left (144-24x + x ^ 2 \ right) \ left (64 + x ^ 2 \ right) [/ math]
[matemática] \ por lo tanto 3x ^ 4 – 72x ^ 3 + 404x ^ 2 + 24 \ cdot64x – 144 \ cdot64 = 0 [/ matemática]
Esta ecuación no dará lugar a métodos sencillos, y la fórmula para resolver un cuarto general es bastante pesadilla. Esperamos encontrar solo una solución en el rango [matemática] [0, 12] [/ matemática], como se señaló anteriormente, por lo que podemos usar un método como Newton-Raphson para localizar la solución deseada. Para aplicar Newton-Raphson para encontrar una solución para [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], comenzamos con un valor ‘adivinar’ [matemática] x_0 [/ matemática], luego calculamos [matemática] x_ {k } = x_ {k-1} – \ frac {f (x_ {k-1})} {f ‘(x_ {k-1})} [/ math] para [math] k = 1, 2, 3, \ dots [/ math] hasta que hayamos localizado la solución con la suficiente precisión.
Deje [math] f (x) = 3x ^ 4 – 72x ^ 3 + 404x ^ 2 + 24 \ cdot64x – 144 \ cdot64 [/ math]
[matemática] \ por lo tanto f ‘(x) = 12x ^ 3 – 216x ^ 2 + 808x + 24 \ cdot64 [/ matemática]
Para encontrar la solución, comencemos con [math] x_0 = 6 [/ math], en el medio de nuestro rango, y podemos encontrar la solución deseada desde allí.
- [matemáticas] x_0 = 6 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_1 = 6 – \ frac {2880} {1200} = 3.6 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_2 = 3.6 – \ frac {-1305.9072} {2205.312} \ aprox 4.19216437 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_3 = 4.19216437 – \ frac {-54.81579447} {2011.32185525} \ aprox 4.21941799 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_4 = 4.21941799 – \ frac {-0.13796811} {2001.18058971} \ aprox. 4.21948693 [/ matemáticas]
- [matemáticas] x_5 = 4.21948693 – \ frac {-0.0000076090324} {2001.15481529} \ aprox. 4.21948693 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]
Por lo tanto, el tiempo total de viaje se minimiza cuando [math] \ boxed {x \ approx 4.2195} [/ math]