La suma de dos números de 2 dígitos también es un número de 2 dígitos. ¿Cuál es el valor máximo del producto de esos tres números de 2 dígitos?

Answer 1

Supongamos que los dos primeros números de 2 dígitos son [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] respectivamente.

[matemáticas] x + y <100 [/ matemáticas] y estamos tratando de maximizar [matemáticas] x * y * (x + y) [/ matemáticas]

Es bastante obvio que [matemáticas] x + y = 99. [/ Matemáticas] Por lo tanto, la fórmula ahora se convierte en

[matemática] x * y * 99 = x (99-x) (99) = (99x-x ^ 2) (99) [/ matemática]

Ahora, estamos tratando de maximizar [matemáticas] 99x-x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (99x-x ^ 2) = 99-2x [/ matemáticas]

[matemática] 99-x ^ 2 [/ matemática] es máxima en [matemática] x = 49.5 [/ matemática] y los 2 enteros más cercanos son [matemática] 49 [/ matemática] y [matemática] 50 [/ matemática]. Por lo tanto, podemos estar seguros de que [matemáticas] (x, y) = (49,50) [/ matemáticas] o [matemáticas] (50,49) [/ matemáticas].

El producto máximo es [matemáticas] 49 * 50 * 99 = 242550 [/ matemáticas].

Una manera más rigurosa de abordar este problema será encontrar el máximo local de la ecuación [matemáticas] z = x ^ 2y + xy ^ 2 [/ matemáticas] dentro del límite [matemáticas] x \ geq10 [/ matemáticas], [matemáticas] y \ geq10 [/ math], [math] x + y \ leq99 [/ math] pero supongo que eso es excesivo para este problema.

Answer 2

Dado [math] a, b \ in \ mathbb N [/ math], con [math] a \ ge10, b \ ge10, a + b <100 [/ math], maximizar [math] ab (a + b) [ /matemáticas].

Bien, si [matemática] a + b <99 [/ matemática], entonces [matemática] a + (b + 1) <100 [/ matemática], y [matemática] a (b + 1) (a + b + 1) > ab (a + b) [/ matemáticas]. Entonces, el valor máximo se alcanzaría cuando [math] a + b = 99 [/ math].

Sabemos que [math] \ sqrt {ab} \ le \ dfrac {a + b} 2 = 49 \ frac12 [/ math], entonces [math] ab \ le \ bigl (49 \ frac12 \ bigr) ^ 2 = 2 \, 450 \ frac14 [/ matemáticas]. Como [math] a, b [/ math] son ​​enteros, esto significa [math] ab \ le2 \, 450 [/ math], y hay dos valores que cumplen todas las condiciones: [math] a = 50 [/ math] , [matemática] b = 49 [/ matemática], [matemática] ab = 2 \, 450 [/ matemática], [matemática] a + b = 99 [/ matemática] y [matemática] ab (a + b) = \ boxed {\ large242 \, 550} [/ math].

Answer 3

Deje que los números sean xy, x + y y 2x donde x e y son enteros o medios enteros.

Entonces el producto es [matemática] 2x (x ^ 2-y ^ 2) [/ matemática] que obviamente se maximiza cuando x es grande e y es pequeño. Observando 2x <100 tenemos x- = 49.5 e y = 0.5 y el producto es 49 * 50 * 99 = 242,550.

Answer 4

Claramente queremos que la suma sea lo más grande posible, es decir, 99. Por lo tanto, nuestro problema se reduce a encontrar enteros de dos dígitos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] que maximizan [matemática] ab (a + b) [/ math] sujeto a la restricción [math] a + b = 99 [/ math]; es decir, maximizando [matemáticas] 99ab [/ matemáticas]. Si [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] no estuvieran restringidas a los enteros, la respuesta sería claramente 49.5. Esto se puede demostrar mediante la simetría de la parábola [matemática] 99a (99-a) [/ matemática] generada reorganizando la restricción y sustituyendo. El par de enteros más cercano, entonces, es 49 y 50, lo que da un producto de 242,500.

* te mira severamente * “No te estoy ayudando a hacer trampa en tu tarea, ¿verdad?”

¡Salud!

Answer 5

Ya que

Máx. (X + Y) = 99;

Los productos con una suma máxima serán más altos si los dos números de productos se cierran juntos,

Si traza todas las posibilidades, con un rango de X de 10 a 89 e Y = 99 – X obtendrá una curva de campana

El producto más alto sería el punto máximo de la curva de campana, ya sea en X = 49, Y = 50 o X = 50, Y = 49

El producto es 49 × 50 = 2450

Answer 6

Suponiendo que x e y son enteros positivos.

Tiene maximizar x * y * (x + y) sujeto a x + y <100.

Esto sugiere que x + y = 99,

y para maximizar x * y sujeto a x + y = 99, desea x e y tan cerca de

igual de posible, así que elija x = 49, y = 50, o viceversa.

El producto es entonces 49 * 50 * (49 + 50) = 242550.

¿Alguien tiene algo mejor?

Answer 7

Respuesta: 242,550

El valor máximo de la suma de dos números de 2 dígitos, que también es un número de 2 dígitos, puede ser 99.

Ahora, para obtener el valor máximo para un producto de números de dos dígitos, la suma debería dividirse a la mitad y luego encontrar los dos números enteros más cercanos alrededor de ese valor reducido a la mitad para satisfacer el requisito del problema. esta lógica si quieres).

Ahora la mitad de 99 es 49.5

Dos números enteros más cercanos son 50 y 49.

Entonces la respuesta final es

49x50x99 = 242,550

Answer 8

Aquí está mi proceso de pensamiento para que pueda estar bien organizado.

a, byc, donde c = a + b . Todos ellos son números de 2 dígitos. Estamos tratando de encontrar un valor máximo para abc.

bueno, todos deberían ser lo más grandes posible.

claramente, los valores de ayb están limitados por c.

primero tenemos que hacer c lo más grande posible. bueno … 99, genial.

entonces si a + b = 99, ¿cómo podemos hacer que ab sea el máximo?

emm … de acuerdo con la desigualdad de los medios aritméticos y geométricos, (a + b) / 2> = raíz ab, entonces a y b deberían estar lo más cerca posible de 49.5.

como son números enteros, luego 49 y 50.

abc = 49 * 50 * 99 = 242550.

Answer 9

49 + 50 = 99. 49 * 50 * 99 = 242550

Answer 10

49 + 50 = 99

49 * 50 * 99 = 242550