Dado que calcular un logaritmo es en sí mismo un ejemplo de algoritmo, creo que puede responder a su pregunta. Existen múltiples algoritmos aplicables para calcular el logaritmo. Los algoritmos, o más bien las soluciones a problemas matemáticos, pueden ser analíticos o iterativos.
Las soluciones analíticas son un conjunto claro de pasos de cálculo, siempre iguales, que dan el resultado, como calcular las raíces de un polinomio de segundo grado, que calculan exactamente el resultado, al menos en forma simbólica, es decir, utilizando otras funciones conocidas como la raíz cuadrada .
Los algoritmos iterativos, iteran, por supuesto, hasta que se obtiene suficiente precisión (o, equivalentemente, un error lo suficientemente pequeño). Cuando los métodos analíticos e iterativos están disponibles, se pueden comparar por estabilidad numérica y por número de operaciones hasta alcanzar una precisión objetivo (un error máximo aceptado). Hay casos en los que los métodos iterativos suelen ser más eficientes (realizar menos operaciones), donde generalmente significa la mayoría de las entradas y los errores más aceptables.
Los algoritmos para los logaritmos parecen ser iterativos, no encontré una solución analítica para ellos en un google rápido, por lo que los iterativos clásicos, la expansión de Euler y la más genérica de Taylor que pueden aproximarse a cualquier función:
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Por supuesto, existen algoritmos más eficientes (con convergencia más rápida) implementados en calculadoras de bolsillo y bibliotecas.