¿Cuál es la solución para este problema matemático?

Answer 1

Como sabemos eso,

Suma de raíces (α + β) = – b / a

Producto de raíces (αβ) = c / a

Entonces α + β + αβ = (cb) / a

Como a, b, c están en progresión aritmética,

Suponga que a = f – d (f = primer término de AP yd = diferencia de AP), b = f & c = f + d

Entonces, α + β + αβ = d / (fd)

Opción 1: para α + β + αβ = 3, es decir, 3/1, entonces f = d + 1

d = 3 yf = 4

Entonces, a = 1, b = 4, c = 7

Opción 2: para α + β + αβ = 5, es decir, 5/1, entonces f = d + 1

d = 5 yf = 6

Entonces, a = 1, b = 6, c = 11

Opción 3: para α + β + αβ = 7, es decir, 7/1, entonces f = d + 1

d = 7 yf = 8

Entonces, a = 1, b = 8, c = 15

Opción 4: para α + β + αβ = 14, es decir, 14/1, entonces f = d + 1

d = 14 yf = 15

Entonces, a = 1, b = 15, c = 29

Condición para raíces integrales, (b ^ 2 – 4ac) debe ser un cuadrado perfecto

Al encontrar (b ^ 2 – 4ac) para todas las opciones anteriores, solo obtenemos la opción 3 para ser un cuadrado perfecto. Entonces la respuesta correcta es la opción 3

Answer 2

Supongamos que [math] d [/ math] denota la diferencia común en la progresión aritmética de la cual [math] a, b, c [/ math] son ​​términos consecutivos . Entonces

[matemáticas] \ alpha + \ beta + \ alpha \ beta = – \ dfrac {b} {a} + \ dfrac {c} {a} = \ dfrac {cb} {a} = \ dfrac {d} {a} = r [/ matemáticas] ( decir ).

Dado que la ecuación [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math] tiene raíces enteras , el discriminante [math] \ Delta = b ^ 2–4ac [/ math] debe ser el cuadrado de un entero , digamos [ matemáticas] m [/ matemáticas]. Entonces debemos tener

[matemáticas] m ^ 2 = (a + d) ^ 2–4a (a + 2d) = d ^ 2–6ad-3a ^ 2 = a ^ 2 (r ^ 2-6r-3) = a ^ 2 \ big ((r-3) ^ 2–12 \ big) [/ math].

Ahora [math] (r-3) ^ 2-12 [/ math] es positivo solo para [math] r = 7 [/ math] y [math] r = 14 [/ math], pero un cuadrado solo para [math ] r = 7 [/ matemáticas].

La respuesta es la opción (C). [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Como a, byc están en AP,

Deje que A denote alfa, B denote beta y C denote gamma

A + B = -b / a

AB = c / a

A + B + AB = (cb) / a = c / ab / a

Como A y B son enteros, A + B y AB son enteros.

Ahora las raíces de la ecuación dada son -b / 2a + sqrt (b * b / 4 * a * a-4 * a * c / 4 * a * a) y

-b / 2a-sqrt (b * b / 4 * a * a-4 * a * c / 4 * a * a)

b / a y c / a son enteros.

b = ka, c = ma, k y m son enteros

cb = ba o, 2b = c + ao , 2k = m + 1

También b * b / 4 * a * ac / a = k * k / 4-m debe ser un cuadrado perfecto y un número entero

m = 3 => k = 2 k * k / 4-m = -2 Entonces descuidar

m = 5 => k = 3 k * k / 4-m = -2.75 Entonces descuidar

m = 7 => k = 4 k * k / 4-m = -3 Entonces descuidar

m = 9 => k = 5 k * k / 4-m = 1.25 Entonces descuidar

m = 11 => k = 6 k * k / 4-m = -2 Entonces descuidar

m = 13 => k = 7 k * k / 4-m = -0.75 Entonces descuidar

m = 15 => k = 8 k * k / 4-m = 1 (1 es un cuadrado perfecto y un entero. ¿No es genial ????)

A + B + AB = c / ba / b = mk = 15–8 = 7

Aqui tienes.

La respuesta es 7.

Answer 4

La pregunta también especifica que P (x) tiene raíces integrales, así que elija un valor de y / a de las opciones de modo que satisfaga todas las condiciones requeridas.

Answer 5

Se dice que el polinomio P (x) = ax ^ 2 + bx + c tiene a, by un AP. Entonces

b – a = c – b o 2b = a + c o b = (a + c) / 2. Entonces el polinomio se puede escribir como

P (x) = ax ^ 2 + (a + c) x / 2 + c = 0 o

2ax ^ 2 + (a + c) x + 2c = 0

Las dos raíces son x1 y x2 donde

x1 = {- (a + c) + [(a + c) ^ 2 – 16ac] ^ 0.5} / 2 (a + c)

= {- (a + c) + [(a ^ 2 + c ^ 2 – 14ac] ^ 0.5} / 2 (a + c)

x2 = {- (a + c) – [(a + c) ^ 2 – 16ac] ^ 0.5} / 2 (a + c)

= {- (a + c) – [(a ^ 2 + c ^ 2 – 14ac] ^ 0.5} / 2 (a + c)

Ahora x1 + x2 + x1 * x2 = -1 + {[(a + c) ^ 2 – [(a ^ 2 + c ^ 2 – 14ac]} / 2 (a + c)

= -1+ {a ^ 2 + 2ac + c ^ 2 – a ^ 2 – c ^ 2 + 14ac} / 2 (a + c)

= -1 + 16ac / 2 (a + c)

= -1 + 8

= 7

Entonces la opción en (C) es correcta.

Answer 6