Hay varios métodos y formas de resolver este problema y encontrar el inverso del factorial de [math] n [/ math].
Una forma indirecta consistiría en encontrar el máximo factor primo de [matemática] n [/ matemática], luego calcular los factoriales mayores que ese número.
Esto se puede hacer con Mathematica usando la función FactorInteger [] o la función integrada Divisores [].
El máximo factor primo de [math] 2432902008176640000 [/ math] es [math] 19 [/ math], entonces calcular [math] 19! [/ Math] y más generalmente calcular los factoriales de enteros mayores que [math] 19 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] 20! [/ matemáticas], uno encuentra la solución requerida.
Otro método consiste en utilizar la fórmula de Sterling o fórmulas de aproximación similares y encontrar una solución numérica.
La fórmula de aproximación de Stirling se expresa como:
[matemáticas] {\ displaystyle n! \ approx {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}} [/ math]
Usando un CAS como Mathematica y escribiendo:
Reducir [Sqrt [2 \ [Pi] n] (n / E) ^ n == 2432902008176640000, n, Reales]
uno obtiene la solución numérica
[matemáticas] n \ aprox 20.0013792262762900632 [/ matemáticas]
que está cerca de la solución [matemática] n = 20 [/ matemática].
Usando la fórmula de Stirling para dos órdenes:
[matemáticas] {\ displaystyle n! \ sim e ^ {n \ ln n} n {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n}}} e ^ {- n} \ left (1 + {\ frac { 1} {12n}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {1 } {12n}} \ right)} [/ math]
Las siguientes soluciones numéricas se encuentran con Mathematica:
[matemáticas] n \ aprox 2.65381499253146582682 * 10 ^ {- 37} [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ aprox 19.9932017434759007427 [/ matemáticas]
La segunda solución anterior es evidentemente la mejor aproximación numérica.
Usando la siguiente aproximación de Gosper (ver por ejemplo el artículo Aproximación de Stirling):
[matemáticas] \ displaystyle n! \ approx \ sqrt {\ pi \ left (2 n + \ frac {1} {3} \ right)} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ n [/ math]
La siguiente solución numérica se encuentra con Mathematica:
[matemáticas] n \ aprox 20.0000056011058264738 [/ matemáticas]
[math] n! [/ math] también se puede expresar en términos de la función gamma como [math] \ Gamma (n + 1) [/ math].
Se puede calcular una aproximación de la inversa de la función gamma. Más detalles sobre este tema se encuentran en el siguiente enlace:
Función gamma inversa?
Si el cero positivo de la función Digamma es
[matemáticas] k \ aprox 1.461632 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = \ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {e} – \ Gamma (k) \ aproximadamente 0.036534 [/ matemáticas]
Y
[matemáticas] \ displaystyle L (x) = \ ln \ left (\ frac {\ text {c} + x} {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) [/ math]
[math] W (x) [/ math] es la función Lambert W o la función de registro del producto.
La aproximación de la inversa de la función gamma viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {L (x)} {W \ left (\ frac {L (x)} {e} \ right)} + \ frac {1} {2} [/ math]
Esto se puede implementar con Mathematica escribiendo el código:
c = 0.036534
L [x_] = Registro [(x + c) / Sqrt [2 * Pi]]
invgamma [x_] = L [x] / (ProductLog [L [x] / E]) + 1/2
Como el factorial de n es igual a [math] \ Gamma (n + 1) [/ math], el factorial se puede calcular a partir de lo anterior escribiendo
invfact [x_] = Round [invgamma [x] – 1]
Por lo tanto, escribiendo
invfact [2432902008176640000]
produce el resultado redondeado y preciso [matemática] \ grande 20 [/ matemática].
Este problema también se puede resolver directamente con la ayuda de Mathematica escribiendo el siguiente código:
Resuelve [n! == 2432902008176640000, n]
o escribiendo el siguiente código:
Resolver [Gamma [n + 1] == 2432902008176640000,]
o también escribiendo:
FindInstance [n! == 2432902008176640000, n, Reales]
El resultado o respuesta obtenida es:
[matemáticas] \ en caja {n = 20} [/ matemáticas]
A continuación se muestra un diagrama de la solución como el punto de intersección de la función gamma con la curva que representa la función [matemática] y = 2432902008176640000 [/ matemática] (realizada con Mathematica y un poco de Photoshop):
Cabe señalar que no requiere una respuesta valorada real y escribir, por ejemplo
FindInstance [z! == 2432902008176640000, z, 10]
rinde soluciones complejas valoradas. Cada una de estas soluciones complejas (llamadas [matemáticas] z [/ matemáticas]) se puede verificar numéricamente para satisfacer la igualdad
[matemática] \ Gamma (z + 1) = 2432902008176640000 + [/ matemática] parte imaginaria extremadamente pequeña.
Aquí está una de estas soluciones complejas valoradas:
[matemáticas] z \ aprox 20.77000572695390762113700958436100 [/ matemáticas]
[matemáticas] -10.15701343267853618383440217534797 i [/ matemáticas]
En este caso anterior, por ejemplo, se puede verificar numéricamente que
[matemáticas] \ Gamma (z + 1) = 2.432902008176640000000000000000 * 10 ^ {18} +10 ^ {- 14} i [/ matemáticas]
Dos soluciones valoradas más complejas:
[matemáticas] z \ aprox 115.264539449948186134299430144586802753358675237697949145604 [/ matemáticas]
[matemáticas] +419.638713407229641073324845028571604123541281855362988997128 i [/ matemáticas]
[matemáticas] z \ aprox 20.77000572695390762113700958436100 [/ matemáticas]
[matemáticas] -10.15701343267853618383440217534797 i [/ matemáticas]
